Resolva: \left(e^{x}+y\right) d x+(x+\sin y) d y=0.

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial de primeira ordem
(e^x + y)\,dx + (x + \sin y)\,dy = 0.
O conteúdo aqui é equação exata: vamos verificar se \partial M/\partial y = \partial N/\partial x e, em caso afirmativo, encontrar uma função de potencial F(x,y) tal que dF = M\,dx + N\,dy.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = e^x + y, \quad N(x,y) = x + \sin y.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = 1, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 1.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Existe uma função F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x} = M = e^x + y.
Integramos em relação a x:
F(x,y) = \int (e^x + y)\,dx = e^x + xy + h(y),
onde h(y) é uma “constante” que pode depender só de y.

Passo 4

Para achar h(y), usamos
\frac{\partial F}{\partial y} = x + h'(y)
que deve ser igual a N(x,y) = x + \sin y. Daí
h'(y) = \sin y \quad\Longrightarrow\quad h(y) = -\cos y + C.

Passo 5

Substituindo em F, obtemos a solução geral implícita
F(x,y) = e^x + xy - \cos y = \widetilde C.

Resposta

e^x + xy - \cos y = C.

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