1^{a} Questão: Resolva cada uma das seguintes integrais. (Cada item vale 1 ponto).
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \operatorname{sen}^{3}(x) \cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac12}\operatorname{sen}^{3}(x)\cos(x)\,dx
O conteúdo é integração por substituição, pois temos uma função composta de \operatorname{sen}(x) elevada a uma potência e seu derivado \cos(x).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \operatorname{sen}(x) \qquad\Longrightarrow\qquad du = \cos(x)\,dx.
Quando x=0, u=\operatorname{sen}(0)=0. Quando x=\tfrac12, u=\operatorname{sen}\bigl(\tfrac12\bigr). Assim a integral vira
\int_{0}^{\operatorname{sen}(\tfrac12)}u^{3}\,du.

Passo 3

Calculamos a antiderivada de u^{3}:
\int u^{3}\,du=\frac{u^{4}}{4}.

Passo 4

Avaliaremos de u=0 até u=\operatorname{sen}(\tfrac12):
\left.\frac{u^{4}}{4}\right|_{0}^{\operatorname{sen}(\tfrac12)} =\frac{\operatorname{sen}^{4}\bigl(\tfrac12\bigr)}{4}-0 =\frac{\operatorname{sen}^{4}\bigl(\tfrac12\bigr)}{4}.

Resposta

\frac{\operatorname{sen}^{4}\bigl(\tfrac12\bigr)}{4}

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