Proposição 2.8: Sejam
um grupo e
. Se
, então
e
.
Passo 1
O enunciado afirma que temos um grupo
e subgrupos
tais que, para todo
, a conjugação de
por
fica dentro de
, isto é,
Queremos mostrar duas coisas:
-
é um subgrupo de . -
é normal em , ou seja, .
Passo 2
Para ver que
é subgrupo, basta verificar que ele é fechado sob produto e inverso. Primeiro a fechadura ao produto: sejam
e
em
. Então podemos escrever
com
e
. Então
Pela hipótese,
. Logo o produto se escreve como um elemento de
vezes um elemento de
, isto é,
.
Passo 3
Agora o inverso de um elemento genérico de
. Seja
com
,
. Então
Reescrevemos
Como
e pela hipótese
, concluímos que
também está em
. Assim
é fechado sob inverso.
Passo 4
Concluímos dos Passos 2 e 3 que
é subgrupo de
.
Passo 5
Para mostrar que
, precisamos provar que, para todo
e todo
, o conjugado
pertence a
. Seja
com
,
. Então
Como
pela hipótese, e
é subgrupo, o produto
retorna a um elemento de
. Logo
para todo
.
Resposta
Portanto vale que
é subgrupo de
e
é normal em
, isto é,