Proposição 2.8: Sejam G um grupo e H, Q \leq G. Se \forall q \in Q \quad{ }^{q} H \subset H, então H Q \leq G e H \triangleleft H Q.

Passo 1

O enunciado afirma que temos um grupo G e subgrupos H, Q \le G tais que, para todo q\in Q, a conjugação de H por q fica dentro de H, isto é,
{}^{q}H\;=\;qHq^{-1}\;\subseteq\;H.
Queremos mostrar duas coisas:
  1. HQ é um subgrupo de G.
  2. H é normal em HQ, ou seja, H\triangleleft HQ.

Passo 2

Para ver que HQ é subgrupo, basta verificar que ele é fechado sob produto e inverso. Primeiro a fechadura ao produto: sejam x e y em HQ. Então podemos escrever
x = h_{1}q_{1}, \quad y = h_{2}q_{2},
com h_{1},h_{2}\in H e q_{1},q_{2}\in Q. Então
xy = (h_{1}q_{1})(h_{2}q_{2}) = h_{1}\bigl(q_{1}h_{2}q_{1}^{-1}\bigr)\,(q_{1}q_{2}).
Pela hipótese, q_{1}h_{2}q_{1}^{-1}\in H. Logo o produto se escreve como um elemento de H vezes um elemento de Q, isto é, xy\in HQ.

Passo 3

Agora o inverso de um elemento genérico de HQ. Seja x = hq com h\in H, q\in Q. Então
x^{-1} = (hq)^{-1} = q^{-1}h^{-1}.
Reescrevemos
q^{-1}h^{-1} = \bigl(q^{-1}h^{-1}q\bigr)\,q^{-1}.
Como q^{-1}\in Q e pela hipótese q^{-1}h^{-1}q\in H, concluímos que x^{-1} também está em HQ. Assim HQ é fechado sob inverso.

Passo 4

Concluímos dos Passos 2 e 3 que HQ é subgrupo de G.

Passo 5

Para mostrar que H\triangleleft HQ, precisamos provar que, para todo x\in HQ e todo h'\in H, o conjugado x\,h'\,x^{-1} pertence a H. Seja x=hq com h\in H, q\in Q. Então
x\,h'\,x^{-1} = (h\,q)\,h'\,(q^{-1}h^{-1}) = h\bigl(q\,h'\,q^{-1}\bigr)h^{-1}.
Como q\,h'\,q^{-1}\in H pela hipótese, e H é subgrupo, o produto h(q\,h'\,q^{-1})\,h^{-1} retorna a um elemento de H. Logo x\,h'\,x^{-1}\in H para todo x\in HQ.

Resposta

Portanto vale que HQ é subgrupo de G e H é normal em HQ, isto é,
HQ \le G \quad\text{e}\quad H \triangleleft HQ.

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