Calcule a integral tripla.
(b) integral triplaE x d V, onde E é limitado pelo paraboloide x=4 y^2+z^2 e pelo plano x=4.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral tripla
integral triplaE x,dV
onde E é a região limitada pelo paraboloide x=4y^2+z^2 e pelo plano x=4.
O conteúdo necessário é montagem de integral iterada em coordenadas cartesianas com projeção no plano yz e, para facilitar, faremos uma mudança para coordenadas elíptico-polares em y,z.

Passo 2

Primeiro projetamos E no plano yz. Essa projeção D é dada por
4y^2+z^2 <= 4
que é uma elipse. Em D temos o limite inferior de x em x=4y^2+z^2 e o superior em x=4. Assim
integral triplaE x,dV = integral duplaDl(integralx=4y^2+z^2^4 x,dxr),dy,dz

Passo 3

Para simplificar a elipse 4y^2+z^2<=4 usamos a mudança
y = r2costheta, z = rsintheta,
com thetain[0,2pi] e rin[0,2]. O jacobiano dessa transformação é
dy,dz = r2,dr,dtheta

Passo 4

Em coordenadas (r,theta) temos
4y^2+z^2 = 4l(tfracr2costhetar)^2 + (rsintheta)^2 = r^2,
logo x varia de r^2 até 4. A integral fica
integral triplaE x,dV = integraltheta=0^2pi!integralr=0^2 l(integralx=r^2^4 x,dxr)r2,dr,dtheta

Passo 5

Calculamos a integral interna em x:
integralx=r^2^4 x,dx = [tfracx^22]r^2^4 = 12l(16 - r^4r)
Substituindo,
integral triplaE x,dV = integral0^2pi!integral0^2 12l(16 - r^4r),r2,dr,dtheta = integral0^2pi!integral0^2 16r - r^54,dr,dtheta

Passo 6

Primeiro a integral em r:
integral0^2 16r - r^54,dr = 14l[8r^2 - tfracr^66r]0^2 = 14l(8cdot4 - tfrac646r) = 14cdot643 = 163
Agora em theta:
integral0^2pi163,dtheta = 163,2pi = 32pi3

Resposta

32pi3

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