Calcule a integral tripla.
(b)
, onde
é limitado pelo paraboloide
e pelo plano
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral tripla
onde
é a região limitada pelo paraboloide
e pelo plano
.
O conteúdo necessário é montagem de integral iterada em coordenadas cartesianas com projeção no plano e, para facilitar, faremos uma mudança para coordenadas elíptico-polares em
.
O conteúdo necessário é montagem de integral iterada em coordenadas cartesianas com projeção no plano
Passo 2
Primeiro projetamos
no plano
. Essa projeção
é dada por
que é uma elipse. Em
temos o limite inferior de
em
e o superior em
. Assim
Passo 3
Para simplificar a elipse
usamos a mudança
com
e
. O jacobiano dessa transformação é
Passo 4
Em coordenadas
temos
logo
varia de
até
. A integral fica
Passo 5
Calculamos a integral interna em
:
Substituindo,
Passo 6
Primeiro a integral em
:
Agora em
: