Questão 1. Ache a solução geral da equação dada. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
(t+1) d yd t+(t+2) y=2 t e^-t

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
(t+1)dydt+(t+2)y=2t,e^-t.
Trata-se de uma equação linear de primeira ordem. Vamos colocá-la na forma padrão
dydt+P(t),y=Q(t) e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo por (t+1) (supondo tneq -1), obtemos
dydt + t+2t+1,y = 2t,e^-tt+1
Aqui
P(t)=t+2t+1, Q(t)=2t,e^-tt+1

Passo 3

O fator integrante é
mu(t) = exp!l(integral P(t),dtr) = exp!l(integrall(1+tfrac1t+1r),dtr) = exp!l(t + ln|t+1|r) = |t+1|,e^t
Escolhendo mu(t)=(t+1)e^t em cada intervalo de sinal fixo de t+1.

Passo 4

Multiplicando a forma padrão por mu(t), a parte esquerda vira derivada de mu y:
ddtl[(t+1)e^t,yr] =2t
Integrando ambos os lados,
(t+1)e^ty = integral 2t,dt = t^2+C

Passo 5

Isolando y, obtemos
y(t) = t^2+C(t+1)e^t
Opcionalmente, escrevendo t^2/(t+1)=t-1+tfrac1t+1, dá
y(t) = (t-1)e^-t + Kt+1,e^-t,
com K constante arbitrária.

Passo 6

Como dividimos por t+1, a solução exige tneq -1. Logo ela está definida nos intervalos
(-infty,-1) e (-1,infty), que são os maiores domínios em que a solução geral vale.

Resposta

A solução geral é
y(t) = t^2+C(t+1)e^t,
definida nos intervalos (-infty,-1) ou (-1,infty).

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