Use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty ln nn

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^+inftyln nn
é convergente ou divergente usando o teste da integral. O conteúdo aqui é o teste da integral para séries de termos positivos, e vamos precisar:
  1. Definir uma função contínua, positiva e decrescente que coincida com os termos da série.
  2. Verificar as condições do teste da integral.
  3. Calcular a integral imprópria associada e concluir.

Passo 2

Escolhemos a função
f(x)=ln xx,
definida para x>=1. Observe que:
  • f(x)>0 para x>1.
  • f é contínua em [1,+infty).
  • Para verificar a monotonicidade, calculemos
f'(x) =1xcdot x - ln xx^2 =1-ln xx^2
Logo f'(x)<0 sempre que ln x>1, isto é, para x>e. Portanto, a partir de x=e a função é decrescente, o que é suficiente para aplicar o teste da integral (podemos começar a comparar a partir de n=lceil erceil, sem alterar a convergência do conjunto de termos iniciais).

Passo 3

Aplicamos o teste da integral, analisando
integral1^+inftyln xx,dx
Fazendo a substituição u=ln x, temos du=tfrac1x,dx. Quando x=1, u=0; quando xto+infty, uto+infty. Então
integral1^+inftyln xx,dx =integral0^+inftyu,du =limAto+inftyintegral0^Au,du =limAto+inftyu^22|0^A =limAto+inftyA^22 =+infty
A integral diverge.

Passo 4

Pelo teste da integral, se
integral1^+inftyf(x),dx
é divergente, então a série
sumn=1^+inftyf(n)
também é divergente. Aqui f(n)=tfracln nn.

Resposta

A série sumn=1^+inftyln nn é divergente.

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