Use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente usando o teste da integral. O conteúdo aqui é o teste da integral para séries de termos positivos, e vamos precisar:
Definir uma função contínua, positiva e decrescente que coincida com os termos da série.
Verificar as condições do teste da integral.
Calcular a integral imprópria associada e concluir.
Passo 2
Escolhemos a função
definida para . Observe que:
para .
é contínua em .
Para verificar a monotonicidade, calculemos
Logo sempre que , isto é, para . Portanto, a partir de a função é decrescente, o que é suficiente para aplicar o teste da integral (podemos começar a comparar a partir de , sem alterar a convergência do conjunto de termos iniciais).
Passo 3
Aplicamos o teste da integral, analisando
Fazendo a substituição , temos . Quando , ; quando , . Então