Use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty e^1nn^2

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty e^1nn^2
e pede para usar o teste da integral. O conteúdo é séries de termos positivos e vamos precisar:
  1. Definir uma função contínua f(x) tal que f(n)=e^1/nn^2.
  2. Verificar que f(x) é positiva e decrescente para x>=1.
  3. Calcular a integral imprópria
integral1^infty f(x),dx
e decidir a convergência.

Passo 2

Definimos
f(x) = e^1/xx^2, x>=1
Claramente f(x)>0. Para ver que é decrescente, note que
f'(x) = e^1/xl(-tfrac1x^2r)1x^2 + e^1/xl(-2x^-3r) = e^1/xl(-x^-4-2x^-3r)<0
para todo x>=1. Logo f é decrescente.

Passo 3

Vamos calcular a integral imprópria
integral1^infty e^1/xx^2,dx
Fazemos a substituição t = tfrac1x, de modo que dt = -x^-2,dx. Quando x=1, t=1; quando xtoinfty, tto0. Assim
integral1^infty e^1/xx^2,dx = integral1^0 e^t,(-dt) = integral0^1 e^t,dt = l[e^tr]0^1 = e - 1
Como essa integral é finita, a integral imprópria converge.

Passo 4

Pelo teste da integral, como
integral1^infty f(x),dx<infty
e f é positiva e decrescente para x>=1, concluímos que
sumn=1^infty e^1nn^2
converge.

Resposta

A série é convergente.

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