Use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para usar o teste da integral. O conteúdo é séries de termos positivos e vamos precisar:
- Definir uma função contínua
tal que . - Verificar que
é positiva e decrescente para . - Calcular a integral imprópria
e decidir a convergência.
Passo 2
Definimos
Claramente
. Para ver que é decrescente, note que
para todo
. Logo
é decrescente.
Passo 3
Vamos calcular a integral imprópria
Fazemos a substituição
, de modo que
. Quando
,
; quando
,
. Assim
Como essa integral é finita, a integral imprópria converge.
Passo 4
Pelo teste da integral, como
e
é positiva e decrescente para
, concluímos que
converge.
Resposta
A série é convergente.