Determine se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
nn+1 sen(n pi2)

Passo 1

O enunciado define a sequência
an = nn+1,sen!l(npi2r)
e pede para determinar se ela converge ou diverge, e em caso de convergência achar o limite. O que vamos usar é (1) o fato de que nn+1to1 quando ntoinfty e (2) o caráter periódico de sen(npi/2), que depende de n módulo 4.

Passo 2

Analisamos sen(npi/2) conforme o resto de n na divisão por 4:
se n=4k,& sen!l(tfracnpi2r)=sen(2kpi)=0, se n=4k+1,& sen!l(tfracnpi2r)=senl((2k+tfrac12)pir)=1, se n=4k+2,& sen!l(tfracnpi2r)=senl((2k+1)pir)=0, se n=4k+3,& sen!l(tfracnpi2r)=senl((2k+tfrac32)pir)=-1

Passo 3

Com isso, escrevemos an em cada caso:
n=4k:;&a4k=4k4k+1cdot0=0, n=4k+1:;&a4k+1=4k+14k+2cdot1;=;4k+14k+2, n=4k+2:;&a4k+2=4k+24k+3cdot0=0, n=4k+3:;&a4k+3=4k+34k+4cdot(-1);=;-,4k+34k+4

Passo 4

Agora tomamos os limites das sub-sequências quando ktoinfty:
limktoinftya4k=0, limktoinftya4k+1=1, limktoinftya4k+2=0, limktoinftya4k+3=-1
Como aparecem três valores limite distintos ( 0, 1 e -1 ), a sequência não pode ter um único limite.

Resposta

A sequência é divergente.

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