Calcule a integral tripla:
Calcule a integral \iint_{R} \arctan \left(\frac{y}{x}\right) d A, onde R=\left\{(x, y): 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4,0 \leq y \leq x\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\arctan\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)\,dA,
onde
R=\{(x,y)\mid 1\le x^2+y^2\le 4,\;0\le y\le x\}.
O conteúdo principal é usar coordenadas polares para simplificar a região e a expressão \arctan(y/x).

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta.
A condição 1\le x^2+y^2\le 4 vira 1\le r^2\le 4, ou seja 1\le r\le 2.
As desigualdades 0\le y\le x em polares são
0\le r\sin\theta\quad\Longrightarrow\quad 0\le \theta\le \pi,
r\sin\theta\le r\cos\theta\quad\Longrightarrow\quad \tan\theta\le1
e, combinando com y\ge0, ficamos com
0\le \theta\le \frac{\pi}{4}.

Passo 3

Dentro dessa faixa de ângulo temos \tan\theta\in[0,1], logo
\arctan\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) =\arctan(\tan\theta) =\theta.

Passo 4

Substituindo na integral em polares,
\iint_{R}\arctan\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)\,dA =\int_{\theta=0}^{\pi/4}\int_{r=1}^{2}\theta\,(r\,dr\,d\theta).

Passo 5

Integramos primeiro em r:
\int_{r=1}^{2}r\,dr =\Bigl[\tfrac{r^2}{2}\Bigr]_{1}^{2} =\frac{4}{2}-\frac{1}{2} =\frac{3}{2}.
Então a integral vira
\int_{0}^{\pi/4}\theta\;\frac{3}{2}\,d\theta =\frac{3}{2}\int_{0}^{\pi/4}\theta\,d\theta.

Passo 6

Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{\pi/4}\theta\,d\theta =\Bigl[\tfrac{\theta^2}{2}\Bigr]_{0}^{\pi/4} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\pi}{4}\Bigr)^2 =\frac{\pi^2}{32}.
Multiplicando pelo \tfrac{3}{2} obtém-se
\frac{3}{2}\cdot\frac{\pi^2}{32} =\frac{3\pi^2}{64}.

Resposta

\frac{3\pi^2}{64}.

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