considere o seguinte problema de contorno:
\left\{ \begin{array}{l} y^{\prime \prime}=2 x \\\ y^{\prime}(0)=0, y^{\prime}(1)=2 \end{array} \right.
Assinale a alternativa correta:
a) O problema possui infinitas soluções dadas por y(x)=\frac{x^{3}}{3}+D
b) O problema possui infinitas soluções dadas por y(x)=\frac{x^{3}}{3}+x+D
c) O problema possui uma única solução dada por y(x)=\frac{x^{3}}{3}+x
d) O problema possui uma única solução dada por y(x)=\frac{x^{3}}{3}
O problema não possui solução

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de contorno
\begin{cases} y''(x)=2x,\\\ y'(0)=0,\;y'(1)=2, \end{cases}
que é uma equação diferencial de segunda ordem com condições de contorno do tipo Neumann (informadas sobre y'). Para resolver, vamos integrar y'' e depois aplicar as duas condições em y'.

Passo 2

Integrando a equação
y''(x)=2x
obtemos a primeira antiderivada
y'(x)=\int 2x\,dx = x^2 + C_1,
onde C_1 é constante de integração.

Passo 3

Aplicando a condição y'(0)=0 temos
y'(0)=0^2 + C_1 = C_1 = 0.
Logo
y'(x)=x^2.

Passo 4

Agora verificamos se com C_1=0 a segunda condição é satisfeita:
y'(1)=1^2 = 1,
porém o enunciado exige y'(1)=2. Não há escolha de C_1 que faça
\,y'(0)=0 e simultaneamente
\,y'(1)=2. Portanto, o problema não admite solução.

Resposta

O problema não possui solução.

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