Derive as seguintes funções:
H(x)=\left(x+x^{-1}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
H(x) = \bigl(x + x^{-1}\bigr)^{3}.
O conteúdo aqui é aplicação da regra da cadeia, pois temos uma função composta H(x)=u(x)^{3} com u(x)=x+x^{-1}.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = x + x^{-1}.
Assim, H(x) = \bigl(u(x)\bigr)^{3}.

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x). Como a derivada de x é 1 e a de x^{-1} é -x^{-2}, temos
u'(x) = 1 - x^{-2}.

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia: a derivada de u^{3} é 3\,u^{2}\,u'. Logo,
H'(x) = 3\,\bigl(u(x)\bigr)^{2}\,u'(x).

Passo 5

Substituindo u(x) e u'(x), obtemos
H'(x) = 3\,\bigl(x + x^{-1}\bigr)^{2}\,\bigl(1 - x^{-2}\bigr).

Resposta

H'(x) = 3\,(x + x^{-1})^{2}\,(1 - x^{-2}).

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