1 Deternuine os ralores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da funçän:
f(x, y)=x^{3}-6 x y+8 y^{3}

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos da função
f(x,y)=x^{3}-6xy+8y^{3}
e classificá-los como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Para isso vamos calcular as derivadas parciais, resolver o sistema
\nabla f=0 e depois usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x} =3x^{2}-6y,
\frac{\partial f}{\partial y} =-6x+24y^{2}.

Passo 3

Impondo \partial f/\partial x=0 e \partial f/\partial y=0, temos o sistema
3x^{2}-6y=0, \quad -6x+24y^{2}=0.
Da primeira equação vem
y=\tfrac12\,x^{2},
e da segunda
x=4y^{2}.
Substituindo x=4y^{2} em y=\tfrac12\,x^{2}
y=\tfrac12\,(4y^{2})^{2} =\tfrac12\cdot16y^{4} =8y^{4},
ou seja
8y^{4}-y=0 \;\Longrightarrow\; y\,(8y^{3}-1)=0 \;\Longrightarrow\; y=0\quad\text{ou}\quad y=\tfrac12.
Para y=0 obtemos x=4\cdot0^{2}=0, e para y=\tfrac12 obtemos x=4\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}=1.
Logo os pontos críticos são
(0,0) \quad\text{e}\quad \bigl(1,\tfrac12\bigr).

Passo 4

Agora montamos a matriz Hessiana de f:
f_{xx}=6x, \quad f_{xy}=-6, \quad f_{yy}=48y.
O discriminante da Hessiana é
D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^{2}.

Passo 5

Avaliando em cada ponto:
  1. Em (0,0):
    f_{xx}(0,0)=0, \quad f_{xy}(0,0)=-6, \quad f_{yy}(0,0)=0 \;\Longrightarrow\; D=0\cdot0-(-6)^{2}=-36<0.
    Como D<0, (0,0) é ponto de sela.
  2. Em \bigl(1,\tfrac12\bigr):
    f_{xx}=6\cdot1=6, \quad f_{xy}=-6, \quad f_{yy}=48\cdot\tfrac12=24 \;\Longrightarrow\; D=6\cdot24-(-6)^{2}=144-36=108>0.
    Como D>0 e f_{xx}=6>0, é mínimo local.
Não surgiram pontos com f_{xx}<0 e D>0, logo não há máximo local.

Resposta

Ponto de sela: (0,0).
Mínimo local: \bigl(1,\tfrac12\bigr).
Não há máximo local.

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