Calcule a integral tripla exatamente:
integral0^2 integral-1^sec x integralz-x^z+x e^2 x(5 y+2 z) d y d z d x

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla
integral0^2!integral-1^sec x!integral,z - x^,z + x e^2x(5y + 2z),dy,dz,dx
O conteúdo principal é a troca da ordem de integração por repetidas integrais simples e o uso de antiderivadas. Vamos primeiro integrar em y, depois em z e por fim em x.

Passo 2

Integral interna em y:
integralz - x^,z + x e^2x(5y + 2z),dy = e^2xintegralz - x^,z + x(5y + 2z),dy
Uma antiderivada de 5y+2z em y é tfrac52y^2+2zy. Avaliando de y=z-x a y=z+x
l[tfrac52(z+x)^2+2z(z+x)r] - l[tfrac52(z-x)^2+2z(z-x)r] =14,z,x
Logo a integral em y é
e^2xcdot 14zx = 14,x,z,e^2x

Passo 3

Agora integramos em z de -1 até sec x:
integral-1^sec x14,x,z,e^2x,dz =14,x,e^2xintegral-1^sec xz,dz =14,x,e^2x!l[tfracz^22r]-1^sec x =14,x,e^2x,sec^2 x -12
Como sec^2 x-1=tan^2 x, fica
7,x,e^2x,tan^2 x

Passo 4

Restou a integral em x:
integral0^27,x,e^2xtan^2 x,dx =7integral0^2x,e^2xl(sec^2 x-1r),dx
Separando,
7l[ integral0^2x,e^2xsec^2 x,dx -integral0^2x,e^2x,dx r]
A parte integral0^2x,e^2x,dx dá fechado por partes:
integral x,e^2xdx =x,e^2x2-e^2x4 Longrightarrow integral0^2x,e^2xdx =3e^4+14

Passo 5

Concluímos que a integral original se reduz à forma exata
boxed integral0^2!integral-1^sec x!integralz - x^,z + x e^2x(5y + 2z),dy,dz,dx =7integral0^2x,e^2xtan^2 x,dx -7,3e^4+14
Em outras palavras, o valor exato da tripla integral é
7integral0^2x,e^2xtan^2 x,dx -7,(3e^4+1)4

Resposta

7integral0^2x,e^2xtan^2 x,dx -7,(3e^4+1)4

Exercícios relacionados