Calcule a integral tripla integralegral triplaB f(x, y, z) d x d y d z, fazendo uma mudança de variáveis apropriada, onde f e B são dados, em cada um dos seguintes itens.
f(x, y, z)=-3, B é a região 1 <= x+y+z <= 3,0 <= x-y-z <= 2 e 0 <= z <= 1;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral triplaBf(x,y,z),dx,dy,dz
onde f(x,y,z)=-3 e B é a região definida por
1 <= x+y+z <= 3, 0 <= x-y-z <= 2, 0 <= z <= 1
O conteúdo aqui é mudança de variáveis em integrais múltiplas e uso do Jacobiano para transformar a região num paralelepípedo em coordenadas adequadas.

Passo 2

Escolhemos a mudança de variáveis
u = x+y+z, v = x - y - z, w = z
Assim B em (u,v,w) fica
1 <= u <= 3, 0 <= v <= 2, 0 <= w <= 1,
ou seja, um retângulo em R^3.

Passo 3

Invertendo a transformação:
w = z, u-w = x+y, v+w = x-y
Somando e subtraindo obtemos
x = u+v2, y = u - v - 2w2, z = w
O Jacobiano é
J = detpartial(x,y,z)partial(u,v,w) = -tfrac12,
então l|!Jr|=tfrac12 e
dx,dy,dz = tfrac12,du,dv,dw

Passo 4

A integral fica
integral triplaB(-3),dx,dy,dz = integralu=1^3integralv=0^2integralw=0^1(-3),l(tfrac12r),dw,dv,du

Passo 5

Como o integrando é constante,
integral triplaB(-3),dx,dy,dz = -tfrac32 integral1^3integral0^2integral0^1dw,dv,du = -tfrac32,(3-1),(2-0),(1-0) = -tfrac32cdot2cdot2cdot1 = -6

Resposta

-6

Exercícios relacionados