Encontre F(s) ou f(t) como indicado.
Lt^3 e^-2 t;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace de t^3 e^-2 t . Para isso, vamos utilizar os conceitos de Transformada de Laplace, especificamente as fórmulas que envolvem funções polinomiais multiplicadas por exponenciais. Vamos precisar conhecer a fórmula geral da transformada de t^n e^-a t .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função f(t) é dada por:
Lf(t) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt
No nosso caso, f(t) = t^3 e^-2 t .

Passo 3

Existe uma fórmula específica para a transformada de funções da forma t^n e^-a t . A fórmula é:
Lt^n e^-a t = n!(s + a)^n+1
Aqui, n! representa o fatorial de n , e a é a constante que está no expoente da função exponencial.

Passo 4

No nosso exercício, identificamos que n = 3 e a = 2 . Vamos substituir esses valores na fórmula:
Lt^3 e^-2 t = 3!(s + 2)^3+1

Passo 5

Calculando o fatorial de 3:
3! = 3 times 2 times 1 = 6
Então, substituindo de volta:
Lt^3 e^-2 t = 6(s + 2)^4

Resposta

A transformada de Laplace de t^3 e^-2 t é:
Lt^3 e^-2 t = 6(s + 2)^4

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