Calcule a integral tripla integralegral triplaB f(x, y, z) d x d y d z, fazendo uma mudança de variáveis apropriada, onde f e B são dados, em cada um dos seguintes itens.
f(x, y, z)=e^x-y+zx+y-z, B é a região 0 <= x-y+z <= 1,1 <= x+y-z <= 2 e 0 <= z <= 1;

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla
integral triplaB e^x-y+zx+y-z,dx,dy,dz
sobre a região
B=l(x,y,z)mid 0<= x-y+z<=1,;1<= x+y-z<=2,;0<= z<=1r,
usando mudança de variáveis apropriada. Vamos empregar transformação linear e calcular o jacobiano.

Passo 2

Definimos
u = x - y + z, v = x + y - z, w = z
Nesse caso a região em (u,v,w) fica simplesmente
0<= u<=1, 1<= v<=2, 0<= w<=1
Para achar o jacobiano invertamos o sistema:
x=u+v2, y=v-u2+w, z=w

Passo 3

O jacobiano é
J = detpartial(x,y,z)partial(u,v,w) = det tfrac12 & tfrac12 & 0[6pt] -tfrac12 & tfrac12 & 1[4pt] 0 & 0 & 1 = tfrac12 ]

Passo 4

Em (u,v,w) o integrando fica
e^x-y+zx+y-z = e^uv,
e
dx,dy,dz = l|Jr|,du,dv,dw = tfrac12,du,dv,dw
Portanto
integral triplaB e^x-y+zx+y-z,dx,dy,dz = 12 integralw=0^1 integralv=1^2 integralu=0^1 e^uv,du,dv,dw

Passo 5

As integrais separam:
integralu=0^1 e^u,du = e-1, integralv=1^2 dvv = ln2, integralw=0^1 dw = 1
Multiplicando tudo pelo fator tfrac12, obtemos
12,(e-1),ln2

Resposta

(e-1),ln22

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