Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que todas as condições dadas:
lim x 0^- f(x)=1, lim x 0^+ f(x)=-1, lim x 2^- f(x)=0, lim x 2^+ f(x)=1
f(2)=1, f(0) não está definida; f tem uma assíntota ta horizontal em y=2,
f tem uma assíntota vertical em x=-1

Passo 1

O enunciado pede um esboço de uma função f que satisfaça saltos em x=0 e x=2, tenha assíntota vertical em x=-1 e assíntota horizontal em y=2. Vamos construir um exemplo por partes (ramos) e depois descrever o esboço.

Passo 2

Precisamos garantir a assíntota vertical em x=-1 e o comportamento em xto0^-. Para isso, escolhemos:
1. Para x<-1,
f(x)=2 + 1x+1
Logo
limxto-1^-f(x)=+infty, limxto -inftyf(x)=2
2. Para -1<x<0,
f(x)=1x+1
Assim
limxto -1^+f(x)=+infty, limxto 0^-f(x)=1,
e deixamos f(0) indefinido para satisfazer a condição.

Passo 3

Agora garantimos o salto em x=0 e o limite em xto2^-. Para 0<x<2 definimos uma reta:
f(x)=-1 + x2
Isso dá
limxto 0^+f(x)=-1, limxto 2^-f(x)=0
Em x=2 fixamos
f(2)=1,
para coincidir com o limite à direita que teremos a seguir.

Passo 4

Finalmente, para x>2 escolhemos uma função que vá de 1 em xto2^+ até a assíntota horizontal y=2 em xto+infty. Uma escolha simples é
f(x)=2 - e^-(x-2), x>2
Verifica-se
limxto 2^+f(x)=2 - 1 =1, limxto +inftyf(x)=2

Resposta

O gráfico de um exemplo de f fica assim:
  1. Trace uma reta pontilhada vertical em x=-1 (assíntota vertical) e outra horizontal em y=2 (assíntota horizontal).
  2. Para x<-1, a curva parte de yapprox2 em xto-infty e sobe até +infty conforme chega em x=-1.
  3. Para -1<x<0, a curva vem de +infty em x=-1 e decai até o ponto de valor y=1 em xto0^-. Em x=0 há ponto não definido e um círculo aberto em (0,1).
  4. Para 0<x<2, temos uma reta que parte de (0,-1) e vai até (2,0), com círculo aberto em (0,-1) e em (2,0).
  5. Em (2,1) colocamos um círculo preenchido (pois f(2)=1).
  6. Para x>2, a curva sai de (2,1) e cresce assintoticamente até aproximar-se de y=2 quando xto+infty.
Este esboço satisfaz todas as condições do enunciado.

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