Calcule a integral tripla
, onde
e
são dados, em cada um dos seguintes itens. Esboce o sólido
.
é a região sólida limitada pelo parabolóide
e pelo plano
.
Passo 1
O enunciado pede a integral tripla
onde
é o sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
O conteúdo envolve uso de coordenadas cilíndricas para aproveitar a simetria radial, pois
vira simplesmente
, e o volume elementar
vira
.
Passo 2
Passamos para coordenadas cilíndricas:
com
e o Jacobiano
.
Passo 3
Em cilíndricas, a região
é descrita por
Logo a integral fica
Passo 4
Integramos primeiro em
:
A integral reduz-se a
Passo 5
Agora integramos em
:
Passo 6
Por fim integramos em
:
logo a integral total vale
Resposta
O sólido
é o paraboloide de vértice em
aberto para cima, cortado pelo plano
, de modo que sua seção circular máxima tem raio
no plano
.