Calcule a integral tripla integralegral duplaB f(x, y, z) d x d y d z, onde f e B são dados, em cada um dos seguintes itens. Esboce o sólido B.
f(x, y, z)=raizx^2+y^2, B é a região sólida limitada pelo parabolóide z=2+x^2+y^2 e pelo plano z=9.

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla
integral triplaB raizx^2+y^2,dx,dy,dz
onde B é o sólido limitado pelo paraboloide
z = 2 + x^2 + y^2
e pelo plano
z = 9
O conteúdo envolve uso de coordenadas cilíndricas para aproveitar a simetria radial, pois raizx^2+y^2 vira simplesmente r, e o volume elementar dx,dy,dz vira r,dr,dtheta,dz.

Passo 2

Passamos para coordenadas cilíndricas:
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z,
com
raizx^2+y^2=r,
e o Jacobiano dx,dy,dz = r,dr,dtheta,dz.

Passo 3

Em cilíndricas, a região B é descrita por
2 + r^2 <= z <= 9, 0 <= r <= raiz9-2 = raiz7, 0 <= theta <= 2pi
Logo a integral fica
integral0^2pi!integral0^raiz7!integralz=2+r^2^9 r ;l(r,dz,dr,dthetar) =integral0^2pi!integral0^raiz7 r^2,(9 - (2+r^2)),dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integralz=2+r^2^9 r^2,dz = r^2l[,zr]2+r^2^9 = r^2,(9 - (2 + r^2)) = r^2,(7 - r^2)
A integral reduz-se a
integral0^2pi!integral0^raiz7 l(7r^2 - r^4r),dr,dtheta

Passo 5

Agora integramos em r:
integral0^raiz7 (7r^2 - r^4),dr =[7r^33 - r^55]0^raiz7 = 7(raiz7)^33 - (raiz7)^55 = 49raiz7l(13-15r) = 98raiz715

Passo 6

Por fim integramos em theta:
integral0^2pi dtheta ;=;2pi,
logo a integral total vale
2pi cdot 98raiz715 = 196piraiz715

Resposta

boxed196piraiz715
O sólido B é o paraboloide de vértice em (0,0,2) aberto para cima, cortado pelo plano z=9, de modo que sua seção circular máxima tem raio raiz7 no plano z=9.

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