Calcule a integral tripla
, fazendo uma mudança de variáveis apropriada, onde
e
são dados, em cada um dos seguintes itens.
é a região do primeiro octante em que
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral tripla
onde
e
é a região no primeiro octante (
) limitada pela esfera
. Vamos usar coordenadas esféricas para simplificar a integração sobre essa região.
Passo 2
Em coordenadas esféricas fazemos a mudança
onde
,
é o ângulo polar e
o azimutal. No primeiro octante temos
,
,
.
O Jacobiano é .
O Jacobiano é
Passo 3
Substituindo
e o Jacobiano, a integral torna-se
Passo 4
Separemos a parte radial:
Passo 5
A parte angular é
Dividindo em três integrais:
Somando dá
Passo 6
Multiplicando a parte radial
pelo angular
obtém-se