Calcule a integral tripla integralegral triplaB f(x, y, z) d x d y d z, fazendo uma mudança de variáveis apropriada, onde f e B são dados, em cada um dos seguintes itens.
f(x, y, z)=x+2 y+3 z, B é a região do primeiro octante em que x^2+y^2+z^2 <= 4 ;

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
integral tripla Bf(x,y,z),dx,dy,dz
onde f(x,y,z)=x+2y+3z e B é a região no primeiro octante ( x,y,z>=0) limitada pela esfera x^2+y^2+z^2<=4. Vamos usar coordenadas esféricas para simplificar a integração sobre essa região.

Passo 2

Em coordenadas esféricas fazemos a mudança
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
onde rho>=0, phi é o ângulo polar e theta o azimutal. No primeiro octante temos
rhoin[0,2], phiin[0,tfracpi2], thetain[0,tfracpi2].
O Jacobiano é rho^2sinphi.

Passo 3

Substituindo f e o Jacobiano, a integral torna-se
integral0^pi/2!integral0^pi/2!integral0^2 l(rhosinphicostheta+2rhosinphisintheta+3rhocosphir), rho^2sinphi,drho,dtheta,dphi

Passo 4

Separemos a parte radial:
integral0^2rho^3,drho = 2^44 = 4

Passo 5

A parte angular é
integral0^pi/2!integral0^pi/2 (sinphicostheta+2sinphisintheta+3cosphi),sinphi, dtheta,dphi
Dividindo em três integrais:
integral0^pi/2!integral0^pi/2sin^2phicostheta,dtheta,dphi =pi4, integral0^pi/2!integral0^pi/22sin^2phisintheta,dtheta,dphi =pi2,
integral0^pi/2!integral0^pi/23sinphicosphi,dtheta,dphi =3pi4
Somando dá
tfracpi4+tfracpi2+tfrac3pi4=tfrac3pi2

Passo 6

Multiplicando a parte radial 4 pelo angular tfrac3pi2 obtém-se
integral tripla Bf,dV = 4cdot3pi2 = 6pi

Resposta

6pi.

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