Determine o volume do conjunto dado.
é o sólido limitado pelo parabolóide
e pelo plano
;
Passo 1
A gente quer achar o volume do sólido
que fica entre o parabolóide
e o plano
. O truque é usar coordenadas cilíndricas em torno do eixo
, definindo
.
Passo 2
Em
temos
e o jacobiano é
. A região vira
pois o parabolóide dá
e a interseção com
faz
.
Passo 3
Escrevemos o integral de volume:
Passo 4
Integramos primeiro em
, que só traz um fator
:
Passo 5
Agora a integral em
:
Passo 6
Só falta integrar em
, o que multiplica por
: