Determine o volume do conjunto dado.
B é o sólido limitado pelo parabolóide x=y^2+z^2 e pelo plano x=9;

Passo 1

A gente quer achar o volume do sólido B que fica entre o parabolóide x=y^2+z^2 e o plano x=9. O truque é usar coordenadas cilíndricas em torno do eixo x, definindo r=raizy^2+z^2.

Passo 2

Em (x,r,theta) temos
y=rcostheta, z=rsintheta
e o jacobiano é r. A região vira
0 <= theta <= 2pi, 0 <= r <= 3, r^2 <= x <= 9,
pois o parabolóide dá x=r^2 e a interseção com x=9 faz r^2=9implies r=3.

Passo 3

Escrevemos o integral de volume:
V = integral0^2piintegral0^3integralx=r^2^9 r,dx,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em x, que só traz um fator (9 - r^2):
V = integral0^2piintegral0^3 r,(9 - r^2),dr,dtheta

Passo 5

Agora a integral em r:
integral0^3(9r - r^3),dr = [9r^22 - r^44]0^3 = 814

Passo 6

Só falta integrar em theta, o que multiplica por 2pi:
V = 2pi ,814 = 81pi2

Resposta

81pi2

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