y^{\prime}=2 y+x\left(e^{3 x}-e^{2 x}\right), y(0)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = 2y + x\bigl(e^{3x}-e^{2x}\bigr),\quad y(0)=2
O conteúdo aqui é a resolução de equação linear do tipo y' + p(x)y = q(x) via fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão
y' - 2y = x\bigl(e^{3x}-e^{2x}\bigr)
Assim identificamos p(x)=-2 e q(x)=x(e^{3x}-e^{2x}).

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int -2\,dx\Bigr) = e^{-2x}.
Multiplicando a equação padrão por \mu(x) obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{-2x}\bigr) = x\bigl(e^{3x}-e^{2x}\bigr)\,e^{-2x} = x\bigl(e^{x}-1\bigr).

Passo 4

Integramos ambos os lados em x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{-2x}\bigr)\,dx = \int x\bigl(e^{x}-1\bigr)\,dx.
No lado direito,
\int x e^{x}\,dx = (x-1)e^{x}, \qquad \int x\,dx = \tfrac{x^2}{2},
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\int x\bigl(e^{x}-1\bigr)\,dx = (x-1)e^{x} - \tfrac{x^2}{2} + C.

Passo 5

Voltando à y, temos
y\,e^{-2x} = (x-1)e^{x} - \tfrac{x^2}{2} + C,
portanto
y = e^{2x}\Bigl[(x-1)e^{x} - \tfrac{x^2}{2} + C\Bigr] = (x-1)e^{3x} - \tfrac{x^2}{2}e^{2x} + C\,e^{2x}.

Passo 6

Usamos a condição inicial y(0)=2. Em x=0:
y(0) = (0-1)e^{0} - 0 + C\,e^{0} = -1 + C = 2 \quad\Longrightarrow\quad C = 3.

Resposta

\boxed{y(x) = (x-1)e^{3x} - \tfrac{x^2}{2}e^{2x} + 3e^{2x}.}

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