Calcule a integral tripla.
\iiint_{E} \operatorname{sen} y d V, onde E está abaixo do plano z=x e acima da região triangular com vértices (0,0,0),(\pi, 0,0) e (0, \pi, 0)

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla
\iiint_{E}\sin y\,dV,
onde E é o sólido situado abaixo do plano z=x e acima da região triangular no plano xy com vértices (0,0), (\pi,0) e (0,\pi).
O conteúdo necessário é saber representar E como uma integral iterada em coordenadas cartesianas e executar integrações simples em z, y e x.

Passo 2

Caracterizamos o domínio de projeção no plano xy como
T=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le\pi\}.
Para cada (x,y)\in T, temos 0\le z\le x.
Logo podemos escrever
\iiint_{E}\sin y\,dV =\iint_{T}\Bigl(\int_{z=0}^{x}\sin y\,dz\Bigr)dx\,dy.

Passo 3

Como \sin y não depende de z,
\int_{z=0}^{x}\sin y\,dz =\sin y\;\bigl[z\bigr]_{0}^{x} =x\,\sin y.
Portanto
\iiint_{E}\sin y\,dV =\iint_{T}x\,\sin y\;dx\,dy.

Passo 4

Usamos a descrição de T por
0\le x\le\pi,\quad 0\le y\le \pi - x,
e obtemos
\iiint_{E}\sin y\,dV =\int_{x=0}^{\pi}\int_{y=0}^{\pi - x}x\,\sin y\;dy\,dx.
Primeiro, integramos em y:
\int_{0}^{\pi - x}\sin y\;dy =\bigl[-\cos y\bigr]_{0}^{\pi - x} =-\cos(\pi - x)+\cos(0) =1+\cos x.
Assim a integral fica
\int_{0}^{\pi}x\bigl(1+\cos x\bigr)\,dx.

Passo 5

Agora separamos em duas integrais em x:
\int_{0}^{\pi}x\,dx =\frac{\pi^{2}}{2}, \qquad \int_{0}^{\pi}x\cos x\,dx =\bigl[x\sin x+\cos x\bigr]_{0}^{\pi} =(\pi\cdot0+\cos\pi)-(0+\cos0) =-1-1=-2.
Somando,
\int_{0}^{\pi}x\bigl(1+\cos x\bigr)\,dx =\frac{\pi^{2}}{2}+(-2) =\frac{\pi^{2}}{2}-2.

Resposta

\iiint_{E}\sin y\,dV =\frac{\pi^{2}}{2}-2.

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