Use a Regra do Ponto Médio para as integrais triplas (Exercício 24) para estimar o valor da integral.
\iiint_{B} \sqrt{x} e^{x y z} d V, onde
B=\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x \leqslant 4,0 \leqslant y \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 2\}
Divida B em oito subcaixas de igual tamanho.

Passo 1

O enunciado pede para estimar
I=\iiint_{B} \sqrt{x}\,e^{x y z}\,dV
sobre o paralelepípedo
B=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le4,\;0\le y\le1,\;0\le z\le2\}
usando a Regra do Ponto Médio com 8 subcaixas iguais. O conteúdo é soma de Riemann em três variáveis e usaremos valores de função nos pontos-médios de cada subcaixa.

Passo 2

Dividimos cada aresta em 2 partes iguais, logo \Delta x=(4-0)/2=2, \Delta y=(1-0)/2=0{,}5, \Delta z=(2-0)/2=1.
O volume de cada subcaixa é
\Delta V = \Delta x\,\Delta y\,\Delta z = 2\cdot0{,}5\cdot1 = 1.

Passo 3

Os pontos‐médios em cada direção são \,x^* = 1,3, \,y^* = 0{,}25,\,0{,}75, \,z^* = 0{,}5,\,1{,}5.
Assim temos 2\times2\times2=8 tripletas (x^*,y^*,z^*) sobre as quais avaliaremos \sqrt{x^*}e^{x^*y^*z^*}.

Passo 4

Para organizar, separamos pelos dois valores de x^*\): 1. Para \(x^*=1\), \(\sqrt{1}=1\) e \[y^*z^* = \begin{cases} 0{,}25\cdot0{,}5 = 0{,}125,\\\\ 0{,}25\cdot1{,}5 = 0{,}375,\\\\ 0{,}75\cdot0{,}5 = 0{,}375,\\\\ 0{,}75\cdot1{,}5 = 1{,}125, \end{cases}
então os quatro valores são
\,e^{0,125},\,e^{0,375},\,e^{0,375},\,e^{1,125}.\] 2. Para \[x^*=3, \sqrt{3} e
3\,y^*z^* = \begin{cases} 3\cdot0{,}125 = 0{,}375,\\\\ 3\cdot0{,}375 = 1{,}125,\\\\ 3\cdot0{,}375 = 1{,}125,\\\\ 3\cdot1{,}125 = 3{,}375, \end{cases}
levando a
(\sqrt{3},\bigl(e{0,375},,e{1,125},,e{1,125},,e{3,375}\bigr).]

Passo 5

A soma aproximada é
I\approx \sum_{i=1}^{8} f(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\,\Delta V = \Bigl(e^{0,125}+2e^{0,375}+e^{1,125}\Bigr) + \sqrt{3}\,\Bigl(e^{0,375}+2e^{1,125}+e^{3,375}\Bigr).
Numericamente, usando
e^{0,125}\approx1{,}1331,\; e^{0,375}\approx1{,}4550,\; e^{1,125}\approx3{,}0802,\; e^{3,375}\approx29{,}2990,\; \sqrt{3}\approx1{,}7321,
obtém-se
I\approx 7{,}1233 + 1{,}7321\times36{,}9154 \approx 7{,}1233 + 63{,}9070 \approx 71{,}03.

Resposta

A estimativa pelo ponto médio com 8 subcaixas é aproximadamente 71{,}03.

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