Calcule a integral tripla.
\iiint_{E} e^{z / y} d V, onde
E=\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant y \leqslant 1, y \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant x y\}

Passo 1

Temos a integral tripla
I = \iiint_{E} e^{z / y}\,dV,
onde
E = \{(x,y,z)\mid 0 \le y \le 1,\; y \le x \le 1,\; 0 \le z \le x\,y\}.
O conteúdo envolvido é a integração iterada (Teorema de Fubini), seguida de uma integral simples em z de uma exponencial que depende de z/y, e depois integrais em x e y.

Passo 2

Integramos primeiro em z, mantendo x e y fixos:
\int_{z=0}^{z=xy} e^{z/y}\,dz.
Como
\int e^{z/y}\,dz = y\,e^{z/y},
temos
\int_{0}^{xy} e^{z/y}\,dz = y\bigl(e^{(xy)/y} - e^{0/y}\bigr) = y\,(e^x - 1).

Passo 3

Substituindo na integral dupla em x e y:
I = \int_{y=0}^1 \int_{x=y}^1 y\,(e^x - 1)\,dx\,dy.
Extraímos y (já tratado como constante em x) e integramos em x:
\int_{x=y}^1 (e^x - 1)\,dx = \bigl[e^x - x\bigr]_{x=y}^{1} = (e - 1) - (e^y - y) = e - 1 - e^y + y.
Logo
I = \int_{0}^{1} y\bigl(e - 1 - e^y + y\bigr)\,dy.

Passo 4

Distribuímos dentro da integral em y:
I = \int_{0}^{1} \Bigl[y(e-1) - y\,e^y + y^2\Bigr] dy = (e-1)\int_{0}^{1}y\,dy \;-\;\int_{0}^{1}y\,e^y\,dy \;+\;\int_{0}^{1}y^2\,dy.

Passo 5

Calculamos cada termo separadamente:
  1. \displaystyle \int_{0}^{1}y\,dy = \tfrac{1}{2}, logo (e-1)\int_{0}^{1}y\,dy = \tfrac{e-1}{2}.
  2. \displaystyle \int_{0}^{1}y\,e^y\,dy: por partes com u=y, dv=e^y\,dy
\bigl[y\,e^y - e^y\bigr]_{0}^{1} = (e - e) - (0 -1) = 1.
  1. \displaystyle \int_{0}^{1}y^2\,dy = \tfrac{1}{3}. Combinando,
I = \frac{e-1}{2} - 1 + \frac{1}{3} = \frac{e-1}{2} - \frac{2}{3} = \frac{3(e-1) - 4}{6} = \frac{3e - 7}{6}.

Resposta

\boxed{\frac{3e - 7}{6}}.

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