Calcule a integral tripla.
\iiint_{T} x^{2} d V, onde T é o tetraedro sólido com vértices (0,0,0), (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{T} x^{2}\,dV
onde T é o tetraedro com vértices (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).
O conteúdo usado será a descrição do domínio em coordenadas cartesianas e aplicação da regra de Fubini para integrar em três etapas.

Passo 2

Descrito em coordenadas cartesianas, o tetraedro T é
\{(x,y,z)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0,\;x+y+z\le1\}.
Escolhendo ordem de integração dx\,dy\,dz, temos
\iiint_{T}x^{2}\,dV =\int_{z=0}^{1}\int_{y=0}^{\,1-z}\int_{x=0}^{\,1-y-z}x^{2}\,dx\,dy\,dz.

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em x:
\int_{x=0}^{\,1-y-z}x^{2}\,dx =\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{\,1-y-z} =\frac{(1-y-z)^{3}}{3}.
Então a integral passa a ser
\int_{z=0}^{1}\int_{y=0}^{\,1-z}\frac{(1-y-z)^{3}}{3}\,dy\,dz.

Passo 4

Agora integramos em y:
\int_{y=0}^{\,1-z}(1-y-z)^{3}\,dy
fazendo u=1-z-y nota-se que \int_{0}^{1-z}(1-z-y)^{3}dy=\int_{0}^{\,1-z}u^{3}du=\frac{(1-z)^{4}}{4}. Portanto, até aqui temos
\int_{z=0}^{1}\frac{1}{3}\cdot\frac{(1-z)^{4}}{4}\,dz =\int_{z=0}^{1}\frac{(1-z)^{4}}{12}\,dz.

Passo 5

Por fim, integramos em z:
\int_{0}^{1}(1-z)^{4}\,dz =\left[-\frac{(1-z)^{5}}{5}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{5}.
Logo toda a integral vale
\frac{1}{12}\times\frac{1}{5} =\frac{1}{60}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{60}

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