Calcule a integral tripla.
\iiint_{E} z d V, onde E é limitado pelo cilindro y^{2}+z^{2}=9 e pelos pla \operatorname{nos} x=0, y=3 x e z=0 no primeiro octante

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iiint_{E} z\,dV
onde E é o sólido no primeiro octante limitado pelo cilindro y^{2}+z^{2}=9 e pelos planos x=0, y=3x e z=0. O conteúdo aqui é integral tripla e vamos precisar projetar E no plano yz e usar integração em coordenadas cilíndricas (polar) nesse plano.

Passo 2

Como estamos no primeiro octante, x\ge0, y\ge0, z\ge0. A projeção de E no plano yz é
D=\{(y,z)\mid y^{2}+z^{2}\le9,\;y\ge0,\;z\ge0\}.
Para cada ponto (y,z)\in D, o plano y=3x x=y/3. Logo em E temos
0\le x\le \frac{y}{3}.

Passo 3

Escrevendo a integral em ordem dx\,dy\,dz, obtemos
\iiint_{E}z\,dV =\iint_{D}\Bigl(\int_{0}^{y/3}z\,dx\Bigr)dA =\iint_{D}z\cdot\frac{y}{3}\,dA =\frac{1}{3}\iint_{D}y\,z\,dA.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \iint_{D}y\,z\,dA
é conveniente usar coordenadas polares no plano yz:
y=r\cos\theta,\quad z=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta,
com 0\le r\le3 e 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}.

Passo 5

Substituindo em \frac{1}{3}\iint_{D}y\,z\,dA temos
\frac{1}{3}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{3} \bigl(r\cos\theta\bigr)\bigl(r\sin\theta\bigr)\,r\,dr\,d\theta =\frac{1}{3}\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta \int_{0}^{3}r^{3}\,dr.
Calculemos separadamente:
\int_{0}^{3}r^{3}\,dr=\frac{3^{4}}{4}=\frac{81}{4},
\int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\,d\theta =\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\sin(2\theta)\,d\theta =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\bigl[-\cos(2\theta)\bigr]_{0}^{\pi/2} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\bigl(-\cos\pi+\cos0\bigr) =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}(2) =\frac{1}{2}.
Logo
\frac{1}{3}\cdot\frac{81}{4}\cdot\frac{1}{2} =\frac{81}{24} =\frac{27}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{27}{8}

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