Calcule a integral tripla.
iiint_{T} x y z d V, onde T é o tetraedro sólido com vértices (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0) e (1,0,1)

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla
\iiint_{T} x\,y\,z\,dV
onde T é o tetraedro com vértices (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (1,0,1).
O conteúdo é mudança de variáveis (coordenadas baricêntricas) para parametrizar o tetraedro e calcular a integral.

Passo 2

Escolhemos coordenadas (\mu,\nu,\xi) de forma que qualquer ponto de T seja
(x,y,z) =\mu\,(1,0,0)+\nu\,(0,1,0)+\xi\,(1,0,1) =(\mu+\xi,\;\nu,\;\xi),
com \mu,\nu,\xi\ge0 e \mu+\nu+\xi\le1.
O jacobiano dessa transformação é
J=\det \begin{pmatrix} \partial x/\partial\mu & \partial x/\partial\nu & \partial x/\partial\xi\\\ \partial y/\partial\mu & \partial y/\partial\nu & \partial y/\partial\xi\\\ \partial z/\partial\mu & \partial z/\partial\nu & \partial z/\partial\xi \end{pmatrix} =\det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =1.
Logo dV=d\mu\,d\nu\,d\xi.

Passo 3

Na nova parametrização temos
x=\mu+\xi,\quad y=\nu,\quad z=\xi
e a região
\mu\in[0,\,1-\nu-\xi], \nu\in[0,\,1-\xi], \xi\in[0,1].
A integral vira
\int_{\xi=0}^{1}\!\int_{\nu=0}^{1-\xi}\!\int_{\mu=0}^{1-\nu-\xi} (\mu+\xi)\,\nu\,\xi \;d\mu\,d\nu\,d\xi.

Passo 4

Integramos primeiro em \mu:
\int_{0}^{1-\nu-\xi}(\mu+\xi)\,d\mu =\frac{1}{2}(1-\nu-\xi)^2+\xi(1-\nu-\xi).
Multiplicando por \nu\,\xi, obtemos a integral dupla
\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1-\xi} \Bigl[\tfrac12(1-\nu-\xi)^2+\xi(1-\nu-\xi)\Bigr]\nu\,\xi\; d\nu\,d\xi.

Passo 5

Expandindo e integrando em \nu de 0 a 1-\xi, chega-se a
\int_{0}^{1} \Bigl(\tfrac1{24}\,\xi-\tfrac14\,\xi^3+\tfrac13\,\xi^4-\tfrac18\,\xi^5\Bigr) d\xi.

Passo 6

Por fim, integramos em \xi de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\tfrac1{24}\,\xi\,d\xi -\int_{0}^{1}\tfrac14\,\xi^3\,d\xi +\int_{0}^{1}\tfrac13\,\xi^4\,d\xi -\int_{0}^{1}\tfrac18\,\xi^5\,d\xi =\frac{1}{15}-\frac{1}{16} =\frac{1}{240}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{240}

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