(2 pontos) Seja
. Calcule:
(a)
ponto)
;
(b)
ponto)
;
(c) (1 ponto)
, em que
é a fronteira da região limitada pelas circunferências
e
.
(a)
(b)
(c) (1 ponto)
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede (a) a divergência de
, (b) o rotacional de
(em 2D, um escalar) e (c) a integral de linha
, onde
é o contorno da região anelar limitada por
e
. Vamos usar as definições de divergência e rotacional e depois o Teorema de Green para calcular a circulação.
Passo 2
A divergência de
é definida por
Aqui
e
. Logo,
de onde
Passo 3
O rotacional em 2D (scalar curl) é
Calculamos
portanto
Passo 4
Para
usamos o Teorema de Green, que diz
A região é o anel
,
.
Passo 5
Passamos a coordenadas polares:
,
. Então
Como
, toda integral vale zero.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)