(2 pontos) Seja F(x, y)=\left(y^{2}, 3 x y\right). Calcule:
(a) (0,5 ponto) \operatorname{div} F;
(b) (0,5 ponto) \operatorname{rot} F;
(c) (1 ponto) \oint_{C} F \cdot d r, em que C é a fronteira da região limitada pelas circunferências x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \,F(x,y)=(y^2,\,3xy) e pede (a) a divergência de F, (b) o rotacional de F (em 2D, um escalar) e (c) a integral de linha \displaystyle\oint_CF\cdot dr, onde C é o contorno da região anelar limitada por x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4. Vamos usar as definições de divergência e rotacional e depois o Teorema de Green para calcular a circulação.

Passo 2

A divergência de F=(F_1,F_2) é definida por
\operatorname{div}F=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}.
Aqui F_1=y^2 e F_2=3xy. Logo,
\frac{\partial F_1}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial F_2}{\partial y}=3x,
de onde
\operatorname{div}F=0+3x=3x.

Passo 3

O rotacional em 2D (scalar curl) é
\operatorname{rot}F =\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}.
Calculamos
\frac{\partial F_2}{\partial x}=3y,\quad \frac{\partial F_1}{\partial y}=2y,
portanto
\operatorname{rot}F=3y-2y=y.

Passo 4

Para \displaystyle\oint_CF\cdot dr usamos o Teorema de Green, que diz
\oint_CF\cdot dr =\iint_{\text{região}} \Bigl(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\Bigr)\,dA =\iint_{\text{região}}y\,dA.ãã
A região é o anel 1\le r\le2, 0\le\theta\le2\pi.

Passo 5

Passamos a coordenadas polares: y=r\sin\theta, dA=r\,dr\,d\theta. Então
\iint_{\text{anel}}y\,dA =\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=1}^{2}(r\sin\theta)\,(r\,dr\,d\theta) =\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta \int_{1}^{2}r^2\,dr.
Como \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0, toda integral vale zero.

Resposta

(a) \operatorname{div}F=3x
(b) \operatorname{rot}F=y
(c) \displaystyle\oint_CF\cdot dr=0

Exercícios relacionados