(2 pontos) Calcule o trabalho realizado pelo campo
(0,5)
F(x, y)=x y \mathbf{i}+\left(x^{2}-y\right) \mathbf{j}
ao deslocar uma partícula ao longo do triângulo com vértices nos pontos A(0,0), B(2,0) e C(2,4).

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pelo campo
F(x,y)=x\,y\,\mathbf i+\bigl(x^2-y\bigr)\,\mathbf j
ao deslocar uma partícula ao longo do polígono fechado formado pelos vértices
A(0,0)\to B(2,0)\to C(2,4)\to A(0,0).
Isso equivale a calcular a integral de linha
W=\oint_{ABC}F\cdot d\mathbf r
em que dividimos a curva em três segmentos: AB, BC e CA.

Passo 2

Segmento AB\colon de A(0,0) a B(2,0).
Nesse trecho temos y=0, logo
F=(x\cdot0,\;x^2-0)=(0,\;x^2),
e
d\mathbf r=(dx,0).
Portanto
F\cdot d\mathbf r=0\cdot dx + x^2\cdot0=0
e
W_{AB}=\int_{0}^{2}0\,dx=0.

Passo 3

Segmento BC\colon de B(2,0) a C(2,4).
Aqui x=2 e y vai de 0 a 4, então
F=(2y,\;2^2-y)=(2y,\;4-y),
e
d\mathbf r=(0,dy).
O produto escalar é
F\cdot d\mathbf r=(2y)\cdot0+(4-y)\,dy=(4-y)\,dy,
logo
W_{BC}=\int_{0}^{4}(4-y)\,dy =\Bigl[4y-\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{0}^{4} =16-8=8.

Passo 4

Segmento CA\colon de C(2,4) a A(0,0).
Parametrizamos por
\mathbf r(t)=(2(1-t),\,4(1-t)),\quad t\in[0,1],
de modo que \mathbf r(0)=C e \mathbf r(1)=A. Então
x=2(1-t),\quad y=4(1-t),
d\mathbf r=(dx,dy)=(-2\,dt,\,-4\,dt).
O campo em função de t é
F\bigl(\mathbf r(t)\bigr)=\bigl(xy,\;x^2-y\bigr) =\bigl(8(1-t)^2,\;4(1-t)^2-4(1-t)\bigr) =\bigl(8(1-t)^2,\;-4t(1-t)\bigr).
Logo
F\cdot d\mathbf r =-16(1-t)^2\,dt+16t(1-t)\,dt
e
W_{CA} =\int_{0}^{1}\bigl[-16(1-t)^2+16t(1-t)\bigr]dt =\int_{0}^{1}\bigl(-16+48t-32t^2\bigr)dt =-\tfrac{8}{3}.

Passo 5

Somando os três trechos, o trabalho total é
W=W_{AB}+W_{BC}+W_{CA} =0+8-\tfrac{8}{3} =\tfrac{24}{3}-\tfrac{8}{3} =\tfrac{16}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{16}{3}

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