Dada a função f(x)=\sqrt{x+\frac{1}{x}}, responda:
a) Calcule os intervalos de crescimento e decrescimento e seus pontos extremos, se existirem.
  • Determine a concavidade.
  • Calcule \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) e \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x).
  • Usando os itens anteriores, esboce o gráfico da f.

Passo 1

O enunciado pede que, para a função
f(x)=\sqrt{x+\frac{1}{x}},
encontremos os intervalos de crescimento e decrescimento, seus extremos, a concavidade, os limites em x\to+\infty e x\to0^+ e, por fim, esbocemos o gráfico. O conteúdo envolvido é análise de função: domínio, derivadas primeira e segunda, limites e esboço de curva.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio. Precisamos que o radicando seja não-negativo:
x+\frac1x\ge0,
com x\neq0. Para x>0 temos x+1/x\ge2>0. Para x<0 temos x+1/x\le-2<0. Logo o domínio é
(0,\,+\infty).

Passo 3

Calculamos f'(x). Seja g(x)=x+1/x. Então
f(x)=\bigl(g(x)\bigr)^{1/2},\quad g'(x)=1-\frac1{x^2},
e
f'(x)=\frac{1}{2}\,g(x)^{-1/2}\,g'(x) =\frac{1-\frac1{x^2}}{2\sqrt{x+\frac1x}}.
O sinal de f'(x) vem de 1-1/x^2:
  • Se 0<x<1, então 1-1/x^2<0, logo f'(x)<0 (decresce).
  • Se x>1, então 1-1/x^2>0, logo f'(x)>0 (cresce).
    Em x=1 temos f'(1)=0, e
f(1)=\sqrt{1+1}= \sqrt2.
Assim há um mínimo absoluto em x=1.

Passo 4

Para a concavidade, calculamos f''(x). Após derivar,
f''(x)= \frac{-x^4+6x^2+3}{4\,x^3\,(x+1/x)^{1/2}\,(x+1/x)}.
O numerador muda de sinal quando -x^4+6x^2+3=0, cuja única raiz positiva é
x=\sqrt{3+2\sqrt3}\approx2,542.
Logo f''(x)>0 (côncava para cima) em (0,\sqrt{3+2\sqrt3}) e f''(x)<0 (côncava para baixo) em (\sqrt{3+2\sqrt3},+\infty). Há ponto de inflexão em x=\sqrt{3+2\sqrt3}.

Passo 5

Calculamos os limites:
\lim_{x\to+\infty}f(x) =\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x+\frac1x} =+\infty,
\lim_{x\to0^+}f(x) =\lim_{x\to0^+}\sqrt{x+\frac1x} =\lim_{x\to0^+}\sqrt{\frac1x} =+\infty.

Passo 6

Para esboçar o gráfico, reunimos:
  • Domínio: (0,+\infty).
  • Decrecente em (0,1), mínimo em (1,\sqrt2), crescente em (1,\infty).
  • Côncava para cima até x\approx2,542, côncava para baixo depois desse ponto de inflexão.
  • Em x\to0^+ e x\to+\infty, f(x)\to+\infty.
O gráfico desce do infinito em x\to0^+ até o mínimo (1,\sqrt2), depois sobe, mudando de concavidade em x\approx2,542, e segue subindo indefinidamente.

Resposta

intervalo de decrescimento: (0,1)
intervalo de crescimento: (1,\infty)
extremo: mínimo absoluto em x=1 com f(1)=\sqrt2
concavidade: côncava para cima em \bigl(0,\sqrt{3+2\sqrt3}\bigr), côncava para baixo em \bigl(\sqrt{3+2\sqrt3},\infty\bigr), inflexão em x=\sqrt{3+2\sqrt3}
\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, \displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty
esboço: decai de +\infty até (1,\sqrt2), depois cresce, mudando de côncavo para cima a côncavo para baixo em x\approx2,542, e vai a +\infty.

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