Dada a função
, responda:
a) Calcule os intervalos de crescimento e decrescimento e seus pontos extremos, se existirem.
- Determine a concavidade.
- Calcule
e
.
- Usando os itens anteriores, esboce o gráfico da f.
a) Calcule os intervalos de crescimento e decrescimento e seus pontos extremos, se existirem.
Passo 1
O enunciado pede que, para a função
encontremos os intervalos de crescimento e decrescimento, seus extremos, a concavidade, os limites em
e
e, por fim, esbocemos o gráfico. O conteúdo envolvido é análise de função: domínio, derivadas primeira e segunda, limites e esboço de curva.
Passo 2
Primeiro identificamos o domínio. Precisamos que o radicando seja não-negativo:
com
. Para
temos
. Para
temos
. Logo o domínio é
Passo 3
Calculamos
. Seja
. Então
e
O sinal de
vem de
:
- Se
, então , logo (decresce). - Se
, então , logo (cresce).
Emtemos , e
Assim há um mínimo absoluto em
.
Passo 4
Para a concavidade, calculamos
. Após derivar,
O numerador muda de sinal quando
, cuja única raiz positiva é
Logo
(côncava para cima) em
e
(côncava para baixo) em
. Há ponto de inflexão em
.
Passo 5
Calculamos os limites:
Passo 6
Para esboçar o gráfico, reunimos:
- Domínio:
. - Decrecente em
, mínimo em , crescente em . - Côncava para cima até
, côncava para baixo depois desse ponto de inflexão. - Em
e , .
O gráfico desce do infinito em
até o mínimo
, depois sobe, mudando de concavidade em
, e segue subindo indefinidamente.
Resposta
intervalo de decrescimento:
intervalo de crescimento:
extremo: mínimo absoluto em com
concavidade: côncava para cima em , côncava para baixo em
, inflexão em
,
esboço: decai de até
, depois cresce, mudando de côncavo para cima a côncavo para baixo em
, e vai a
.
intervalo de crescimento:
extremo: mínimo absoluto em
concavidade: côncava para cima em
esboço: decai de