Classifique as alternativas abaixo em verdadeiras ou falsas, justificando cada resposta com cálculos matemáticos correspondentes:
a) A função f(x)=x^{2}-x tem 2 pontos críticos que são mínimos locais.
b) Uma primitiva da função F(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}+e} é a função f(x)=\ln \left(e^{x}+e\right)+\pi^{\ln 2}

Passo 1

O enunciado pede para classificar duas afirmações como verdadeiras ou falsas. No item (a) vamos usar derivadas para encontrar pontos críticos e determinar sua natureza. No item (b) vamos verificar se a derivada do candidato a primitiva coincide com a função dada.

Passo 2

Para o item (a), considere
f(x)=x^{2}-x.
A derivada é
f'(x)=2x-1.
Igualando a zero,
2x-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac12.
Há apenas um ponto crítico em x=\tfrac12. A segunda derivada é
f''(x)=2>0,
logo em x=\tfrac12 há um mínimo local. Portanto afirmar que existem dois mínimos locais é falso.

Passo 3

Para o item (b), seja
g(x)=\ln\bigl(e^x+e\bigr)+\pi^{\ln 2}.
Como \pi^{\ln 2} é constante, sua derivada é zero, e
g'(x)=\frac{d}{dx}\ln\bigl(e^x+e\bigr) =\frac{e^x}{e^x+e}.
Isso coincide com F(x)=\tfrac{e^x}{e^x+e}, logo g é de fato uma primitiva de F. A afirmação é verdadeira.

Resposta

a) Falsa
b) Verdadeira

Exercícios relacionados