Seja M uma variedade de dimensão 3 em que podemos aplicar o teorema da divergência e considere o campo F=(x, y, z) sobre M. Se \partial M tem a orientação induzida e v(M) é o volume de M, mostre que
v(M)=\frac{1}{3} \int_{\partial M}\langle F, n\rangle .

Passo 1

O enunciado considera uma variedade M de dimensão 3, com fronteira orientada \partial M, e o campo vetorial
F(x,y,z) = (x,y,z).
Queremos mostrar que, se v(M) é o volume de M, então
v(M)=\frac{1}{3}\int_{\partial M}\langle F,n\rangle.
Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss) e o cálculo da divergência de F.

Passo 2

Recordando o Teorema da Divergência: para um campo suave F em M,
\int_{M}\mathrm{div}\,F\;dV \;=\;\int_{\partial M}\langle F,n\rangle\,dS.
Então precisamos calcular \mathrm{div}\,F. Como F=(x,y,z), temos
\mathrm{div}\,F = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3.

Passo 3

Substituindo esse valor no Teorema da Divergência, obtemos
\int_{M}3\;dV \;=\;\int_{\partial M}\langle F,n\rangle\,dS.
Mas \displaystyle\int_{M}3\,dV = 3\int_{M}dV = 3\,v(M). Logo
3\,v(M) \;=\;\int_{\partial M}\langle F,n\rangle\,dS.

Passo 4

Basta isolar v(M) dividindo ambos os lados por 3:
v(M) = \frac{1}{3}\int_{\partial M}\langle F,n\rangle\,dS.

Resposta

v(M)=\frac{1}{3}\int_{\partial M}\langle F,n\rangle.

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