Seja
uma variedade de dimensão 3 em que podemos aplicar o teorema da divergência e considere o campo
sobre
. Se
tem a orientação induzida e
é o volume de
, mostre que
Passo 1
O enunciado considera uma variedade
de dimensão 3, com fronteira orientada
, e o campo vetorial
Queremos mostrar que, se
é o volume de
, então
Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss) e o cálculo da divergência de
.
Passo 2
Recordando o Teorema da Divergência: para um campo suave
em
,
Então precisamos calcular
. Como
, temos
Passo 3
Substituindo esse valor no Teorema da Divergência, obtemos
Mas
. Logo
Passo 4
Basta isolar
dividindo ambos os lados por 3: