Questão 4: (2.5 pontos)

Calcule o fluxo do campo vetorial \vec{F}=\left(\frac{-y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}, \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}, 3 z\right) através da superfície S definida por
\begin{cases}x^{2}+y^{2}+z^{2}=9, & \text { se } z \geq 0 \\\ x^{2}+y^{2}=9, & \text { se }-2 \leq z \leq 0 \\\ z=-2, & \text { se } x^{2}+y^{2} \leq 9\end{cases}
orientada com normal apontando para fora.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo
\displaystyle \vec F=\Bigl(\frac{-y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\,\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\,3z\Bigr)
através da superfície S que é a união da hemisfera de raio 3 para z\ge0, do cilindro lateral de raio 3 para -2\le z\le0 e do disco em z=-2, com orientação para fora. Vamos usar o Teorema da Divergência e, se necessário, verificar diretamente componentes singulares.

Passo 2

Definimos o volume V limitado por S:
– Para 0\le z\le3, temos a parte interna da esfera x^2+y^2+z^2\le9.
– Para -2\le z\le0, temos o cilindro x^2+y^2\le9.
Esse é um volume fechado que contém a origem.

Passo 3

Separemos
\vec F = \underbrace{\Bigl(\tfrac{-y}{r},\,\tfrac{x}{r},\,0\Bigr)}_{\vec G} \;+\;\underbrace{(0,0,3z)}_{\vec H},
onde r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. Faremos o fluxo de \vec G e de \vec H separadamente.

Passo 4

Calculamos as divergências (para r\neq0):
\div \vec G =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-\tfrac{y}{r}\Bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\tfrac{x}{r}\Bigr) +\frac{\partial}{\partial z}(0) =0,
\div \vec H =\frac{\partial}{\partial z}(3z)=3.
Pelo Teorema da Divergência,
\Phi_{\vec H} =\iint_{S}\vec H\cdot d\vec S =\iiint_{V}\div\vec H\,dV =3\iiint_{V}dV.
Como \div\vec G=0 em V\setminus\{0\} e o único possível aporte singular em r=0 gera fluxo nulo (campo giratório cujos fluxos se cancelam), concluímos \Phi_{\vec G}=0.

Passo 5

Calculamos o volume de V.
Metade de esfera de raio 3:
V_{\text{hemi}} =\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi\cdot3^3 =18\pi.
Cilindro de raio 3 e altura 2:
V_{\text{cil}} =\pi\cdot3^2\cdot2 =18\pi.
Total:
V=V_{\text{hemi}}+V_{\text{cil}} =36\pi.

Passo 6

Fluxo de \vec H:
\Phi_{\vec H} =3\cdot V =3\cdot36\pi =108\pi.
Fluxo de \vec G foi argumentado como nulo, \Phi_{\vec G}=0.

Resposta

\Phi=\Phi_{\vec G}+\Phi_{\vec H} =0+108\pi =108\pi.

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