Use o teorema da Divergencia para calcular o volume da região compreendida entre entre as superfícies: S_{1}: x^{2}+(y-\operatorname{sen} z)^{2}=1 para 0 \leq z \leq \pi / 2, S_{2}: x^{2}+y^{2} \leq 1 se z=0 e S_{3} : x^{2}+(y-1)^{2} \leq 1 se z=\pi / 2.
Passo 1
O enunciado pede o volume da região V limitada por: 1. A superfície lateral
Contribuição de S_{2}:
em S_{2} temos z=0, logo \mathbf F=(0,0,0) e \mathbf F\cdot\mathbf n=0.
Portanto
\int_{S_{2}}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=0.
Passo 4
Contribuição de S_{3}:
em S_{3} temos z=\tfrac\pi2 e a normal exterior é \mathbf n=(0,0,1).
Então \mathbf F\cdot\mathbf n = z\big|_{z=\tfrac\pi2}=\tfrac\pi2 e
Contribuição de S_{1}:
em cada ponto de S_{1} a componente z de \mathbf{F} aparece multiplicada por n_{z}, mas a curva de seção em cada z é simétrica em y-\sin z.
Especificamente, a normal de x^{2}+(y-\sin z)^{2}=1 tem n_{z}\propto-(y-\sin z)\cos z,
cuja integral sobre a circunferência y-\sin z\mapsto\pm v se anula por simetria em v.
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