Use o teorema da Divergencia para calcular o volume da região compreendida entre entre as superfícies: S_{1}: x^{2}+(y-\operatorname{sen} z)^{2}=1 para 0 \leq z \leq \pi / 2, S_{2}: x^{2}+y^{2} \leq 1 se z=0 e S_{3} : x^{2}+(y-1)^{2} \leq 1 se z=\pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região V limitada por:
1. A superfície lateral
S_{1}:\;x^{2}+(y-\sin z)^{2}=1,\quad 0\le z\le \frac\pi2,
2. O disco inferior
S_{2}:\;x^{2}+y^{2}\le1,\quad z=0,
3. O disco superior
S_{3}:\;x^{2}+(y-1)^{2}\le1,\quad z=\frac\pi2.
Vamos usar o Teorema da Divergência, que diz que, para um campo vetorial \mathbf F com \nabla\cdot\mathbf F=1,
\int_{V}1\,dV \;=\;\int_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS.

Passo 2

Escolhemos
\mathbf F(x,y,z)=(0,0,z).
De fato,
\nabla\cdot\mathbf F=\frac{\partial}{\partial x}0+\frac{\partial}{\partial y}0+\frac{\partial}{\partial z}z=1,
então
\mathrm{Vol}(V)=\int_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS =\int_{S_{1}}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS +\int_{S_{2}}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS +\int_{S_{3}}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS.

Passo 3

Contribuição de S_{2}:
em S_{2} temos z=0, logo \mathbf F=(0,0,0) e \mathbf F\cdot\mathbf n=0.
Portanto
\int_{S_{2}}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=0.

Passo 4

Contribuição de S_{3}:
em S_{3} temos z=\tfrac\pi2 e a normal exterior é \mathbf n=(0,0,1).
Então \mathbf F\cdot\mathbf n = z\big|_{z=\tfrac\pi2}=\tfrac\pi2 e
\int_{S_{3}}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS =\frac\pi2\cdot\text{Área}(S_{3}) =\frac\pi2\cdot\pi =\frac{\pi^{2}}{2}.Á

Passo 5

Contribuição de S_{1}:
em cada ponto de S_{1} a componente z de \mathbf{F} aparece multiplicada por n_{z}, mas a curva de seção em cada z é simétrica em y-\sin z.
Especificamente, a normal de
x^{2}+(y-\sin z)^{2}=1 tem
n_{z}\propto-(y-\sin z)\cos z,
cuja integral sobre a circunferência y-\sin z\mapsto\pm v se anula por simetria em v.
Logo
\int_{S_{1}} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = 0.

Resposta

\mathrm{Vol}(V)=0+0+\frac{\pi^{2}}{2}=\boxed{\frac{\pi^{2}}{2}}.

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