Questão 3: (2.5 pontos)
Calcule \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde C é a interseção do plano y+z=4 com o cilindro x^{2}+z^{2}=1 parametrizada por r(t)=(\cos (t), 4-\operatorname{sen}(t), \operatorname{sen}(t)), 0 \leq t \leq 2 \pi \mathrm{e}
\vec{F}=\left(\frac{1}{y}+z, 2-\frac{x}{y^{2}}, x y+\cos (z)\right)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral de linha
\int_{C}\vec F\cdot d\vec r
onde \vec F=(P,Q,R) com
P=\frac1y+z,\quad Q=2-\frac x{y^2},\quad R=xy+\cos(z)
e C é a curva fechada dada pela interseção do plano y+z=4 com o cilindro x^2+z^2=1, parametrizada por
\vec r(t)=(\cos t,\;4-\sin t,\;\sin t),\quad 0\le t\le2\pi.
Podemos usar o Teorema de Stokes, que diz
\int_C\vec F\cdot d\vec r=\iint_S(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n\,dS,
onde S é a região planar limitada por C.

Passo 2

Calcular o rotacional de \vec F:
\nabla\times\vec F =\Bigl(R_y-Q_z,\;P_z-R_x,\;Q_x-P_y\Bigr).
Computamos cada componente:
R_y=\partial_y(xy+\cos z)=x,\quad Q_z=\partial_z\Bigl(2-\frac x{y^2}\Bigr)=0 \;\;\Longrightarrow\;\;(R_y-Q_z)=x,
P_z=\partial_z\Bigl(\tfrac1y+z\Bigr)=1,\quad R_x=\partial_x(xy+\cos z)=y \;\;\Longrightarrow\;\;(P_z-R_x)=1-y,
Q_x=\partial_x\Bigl(2-\frac x{y^2}\Bigr)=-\frac1{y^2},\quad P_y=\partial_y\Bigl(\tfrac1y+z\Bigr)=-\frac1{y^2} \;\;\Longrightarrow\;\;(Q_x-P_y)=0.
Logo
\nabla\times\vec F=(\,x,\;1-y,\;0\,).

Passo 3

Escolhemos S como a parte do plano y+z=4 sobre o disco x^2+z^2\le1.
Parametrização em termos de (x,z):
\vec R(x,z)=\bigl(x,\;4-z,\;z\bigr),\quad (x,z)\in D=\{x^2+z^2\le1\}.
Então
\vec R_x=(1,0,0),\quad \vec R_z=(0,-1,1),
\vec R_x\times\vec R_z =\begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\\\ 1&0&0\\\\ 0&-1&1 \end{vmatrix} =(0,\,-1,\,-1).

Passo 4

O integrando de Stokes é
(\nabla\times\vec F)\bigl(\vec R(x,z)\bigr)\cdot(\vec R_x\times\vec R_z) =(x,\;1-y,\;0)\cdot(0,-1,-1) =(1-y)\,(-1) =y-1.
Como sobre S temos y=4-z, o produto escalar vira
y-1=(4-z)-1=3-z.
Logo
\int_C\vec F\cdot d\vec r =\iint_D(3-z)\,dA,
onde D\colon x^2+z^2\le1.

Passo 5

Em coordenadas polares no plano x\!-\!z, x=r\cos\theta,\;z=r\sin\theta, com 0\le r\le1,\;0\le\theta\le2\pi:
\iint_D(3-z)\,dA =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}\bigl(3-r\sin\theta\bigr)\,r\,dr\,d\theta.
Separando:
\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}3r\,dr\,d\theta =3\pi,
\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}(-r^2\sin\theta)\,dr\,d\theta =-\Bigl(\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{1}r^2\,dr\Bigr)=0.
Portanto o resultado é 3\pi.

Resposta

\int_{C}\vec F\cdot d\vec r=3\pi.

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