(a) Na Regra do Ponto Médio para as Integrais Triplas, usamos a soma tripla de Riemann para aproximar a integral tripla em uma caixa B, onde f(x, y, z) é calculada no centro \left(\bar{x}_{i}, \bar{y}_{j}, \bar{z}_{k}\right) da caixa B_{i j k}. Utilize a Regra do Ponto Médio para estimar \iiint_{B} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d V, onde B é o cubo definido por 0 \leqslant x \leqslant 4,0 \leqslant y \leqslant 4,0 \leqslant z \leqslant 4. Divida B em oito cubos de igual tamanho.
(b) Use um sistema de computação algébrica para aproximar a integral da parte (a) com precisão para o número inteiro mais próximo. Compare com sua resposta para a parte (a).

Passo 1

O enunciado pede para estimar
\iiint_{B}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV
onde B=[0,4]\times[0,4]\times[0,4] usando a Regra do Ponto Médio com oito subcubos iguais. O conteúdo principal é a Regra do Ponto Médio para integrais triplas, que diz que
\iiint_{B}f(x,y,z)\,dV\approx\sum_{i,j,k}f(\bar x_i,\bar y_j,\bar z_k)\,\Delta V,
onde (\bar x_i,\bar y_j,\bar z_k) é o centro de cada subcubo e \Delta V é o volume de cada subcubo.

Passo 2

Dividimos cada aresta de comprimento 4 em duas partes de comprimento 2. Assim cada subcubo tem aresta 2 e volume
\Delta V=2\cdot2\cdot2=8.
Os centros (\bar x,\bar y,\bar z) variam em \{1,3\} para cada coordenada, dando os oito pontos
(1,1,1),\,(1,1,3),\,(1,3,1),\,(1,3,3),\,(3,1,1),\,(3,1,3),\,(3,3,1),\,(3,3,3).

Passo 3

Em cada centro calculamos f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}:
\begin{aligned} \sqrt{1^2+1^2+1^2}&=\sqrt{3},\\\ \sqrt{1^2+1^2+3^2}&=\sqrt{11}\quad\text{(três vezes)},\\\ \sqrt{1^2+3^2+3^2}&=\sqrt{19}\quad\text{(três vezes)},\\\ \sqrt{3^2+3^2+3^2}&=\sqrt{27}=3\sqrt{3}. \end{aligned}êê
Somando todos esses valores obtemos
\sqrt{3}+3\sqrt{11}+3\sqrt{19}+3\sqrt{3} =4\sqrt{3}+3\sqrt{11}+3\sqrt{19}.

Passo 4

Multiplicando pela soma dos f pelo volume \Delta V=8, a estimativa pela Regra do Ponto Médio é
8\bigl(4\sqrt{3}+3\sqrt{11}+3\sqrt{19}\bigr) \approx8\cdot29{,}9547 \approx239{,}64.

Passo 5

Usando um sistema de álgebra computacional (por exemplo Wolfram Alpha ou Mathematica) para
\iiint_{0}^{4}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV
obtém-se aproximadamente 246{,}3, cujo inteiro mais próximo é 246.

Resposta

(a) Aproximação pela Regra do Ponto Médio: aproximadamente 239{,}64.
(b) Valor numérico exato (CAS) arredondado ao inteiro mais próximo: 246.

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