(a) Na Regra do Ponto Médio para as Integrais Triplas, usamos a soma tripla de Riemann para aproximar a integral tripla em uma caixa
, onde
é calculada no centro
da caixa
. Utilize a Regra do Ponto Médio para estimar
, onde
é o cubo definido por
. Divida
em oito cubos de igual tamanho.
(b) Use um sistema de computação algébrica para aproximar a integral da parte (a) com precisão para o número inteiro mais próximo. Compare com sua resposta para a parte (a).
(b) Use um sistema de computação algébrica para aproximar a integral da parte (a) com precisão para o número inteiro mais próximo. Compare com sua resposta para a parte (a).
Passo 1
O enunciado pede para estimar
onde
usando a Regra do Ponto Médio com oito subcubos iguais. O conteúdo principal é a Regra do Ponto Médio para integrais triplas, que diz que
onde
é o centro de cada subcubo e
é o volume de cada subcubo.
Passo 2
Dividimos cada aresta de comprimento
em duas partes de comprimento
. Assim cada subcubo tem aresta
e volume
Os centros
variam em
para cada coordenada, dando os oito pontos
Passo 3
Em cada centro calculamos
:
Somando todos esses valores obtemos
Passo 4
Multiplicando pela soma dos
pelo volume
, a estimativa pela Regra do Ponto Médio é
Passo 5
Usando um sistema de álgebra computacional (por exemplo Wolfram Alpha ou Mathematica) para
obtém-se aproximadamente
, cujo inteiro mais próximo é
.
Resposta
(a) Aproximação pela Regra do Ponto Médio: aproximadamente
.
(b) Valor numérico exato (CAS) arredondado ao inteiro mais próximo: .
(b) Valor numérico exato (CAS) arredondado ao inteiro mais próximo: