Calcule os limites abaixo, usando preferencialmente o método de Bernoulli-l’Hôpital.
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{x}\right)^{e^{-x}}

Passo 1

O enunciado nos pede calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty}\Bigl(\tfrac1x\Bigr)^{e^{-x}}.
Estamos diante de uma forma indeterminada do tipo 0^0. Vamos usar o truque de tomar logaritmo, transformar em quociente e aplicar Bernoulli-l’Hôpital.

Passo 2

Defina
y = \Bigl(\tfrac1x\Bigr)^{e^{-x}}.
Tomando logaritmo natural,
\ln y = e^{-x}\,\ln\!\Bigl(\tfrac1x\Bigr) = -\,e^{-x}\,\ln x.

Passo 3

Precisamos de
L = \lim_{x\to\infty}\ln y = -\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{e^x}.
A expressão \frac{\ln x}{e^x} é \frac{\infty}{\infty}, logo aplicamos l’Hôpital:
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{e^x} =\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{d}{dx}(\ln x)}{\frac{d}{dx}(e^x)} =\lim_{x\to\infty}\frac{\tfrac1x}{e^x} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x\,e^x} =0.
Portanto L=-0=0.

Passo 4

Como \ln y\to0, segue que
y = \exp(\ln y)\;\longrightarrow\;\exp(0)=1.

Resposta

\boxed{1}

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