Use a Regra do Ponto Médio para as integrais triplas (Exercício 24) para estimar o valor da integral.
\iiint_{B} \cos (x y z) d V, onde
B=\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 1\}
Divida B em oito subcaixas de igual tamanho.

Passo 1

O enunciado pede para estimar
\iiint_{B}\cos(xyz)\,dV
no cubo B=[0,1]\times[0,1]\times[0,1] usando a Regra do Ponto Médio com 8 subcaixas. O conteúdo é a aplicação da regra do ponto médio em três dimensões, que requer subdividir o domínio, calcular os pontos médios e somar f(\text{ponto médio})\times\Delta Vé.

Passo 2

Dividimos cada aresta de B em 2 partes iguais, com
\Delta x = \Delta y = \Delta z = \tfrac12,
logo cada subcaixa tem volume
\Delta V = \Delta x\,\Delta y\,\Delta z = \tfrac12 \cdot \tfrac12 \cdot \tfrac12 = \tfrac18.
Os pontos médios têm coordenadas
(x_i,y_i,z_i)\in\{0{,}25,\,0{,}75\}^3.

Passo 3

Pela Regra do Ponto Médio em 3D, a integral é aproximada por
\sum_{i=1}^{8} \cos\bigl(x_i y_i z_i\bigr)\,\Delta V.
Como os x_i,y_i,z_i só podem ser 0{,}25 ou 0{,}75, agrupamos pelos valores do produto x_i y_i z_i.

Passo 4

Os produtos possíveis e suas multiplicidades são:
0{,}25^3 = 0{,}015625\quad(\times1),\quad 0{,}25^2\cdot0{,}75 = 0{,}046875\quad(\times3),
0{,}25\cdot0{,}75^2 = 0{,}140625\quad(\times3),\quad 0{,}75^3 = 0{,}421875\quad(\times1).
Assim a soma fica
S = \cos(0{,}015625) +3\,\cos(0{,}046875) +3\,\cos(0{,}140625) +\cos(0{,}421875),
e a aproximação é
I \approx \Delta V \,S = \tfrac18\,S.

Passo 5

Agora calculamos numericamente:
\begin{aligned} \cos(0{,}015625)&\approx0{,}99988,\\\ \cos(0{,}046875)&\approx0{,}99890,\\\ \cos(0{,}140625)&\approx0{,}99013,\\\ \cos(0{,}421875)&\approx0{,}91205. \end{aligned}
Logo
S\approx0{,}99988+3(0{,}99890)+3(0{,}99013)+0{,}91205\approx7{,}8789
e
I\approx\tfrac18\times7{,}8789\approx0{,}9849.

Resposta

A estimativa da integral pela Regra do Ponto Médio com 8 subcaixas é aproximadamente
0{,}985.

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