Calcule a integral tripla
onde
.
Passo 1
O enunciado pede a integral tripla
sobre o sólido
definido por
O conteúdo envolvido é o uso de coordenadas cilíndricas para avaliar integrais de volume em regiões com simetria cilíndrica.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas fazemos
com Jacobiano
. A região fica:
de
a
(primeiro quadrante),
de
a
(pois
),
e de
a
.
e
Passo 3
O integrando em cilíndricas é
Multiplicando pelo Jacobiano
obtemos
Assim
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Calculamos
Passo 5
Substituindo, a integral reduz-se a
Separamos o fator angular:
onde
.
Passo 6
Assim a integral vale
Passo 7
Calculamos cada termo:
Somando e colocando denominador comum
:
Passo 8
Multiplicando por
obtemos o valor final da integral: