Calcule a integral tripla
\iint_{E} \int 12 x y^{2} z d V
onde E=\left\{(x, y, z) \in \Re^{3} \mid 3 x^{2}+3 y^{2} \leq z \leq 36-x^{2}-y^{2}, x \geq 0, y \geq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla
\iiint_{E}12\,x\,y^{2}\,z\,dV
sobre o sólido E\subset\mathbb{R}^3 definido por
3x^{2}+3y^{2}\le z\le 36 - x^{2}-y^{2},\quad x\ge0,\;y\ge0.
O conteúdo envolvido é o uso de coordenadas cilíndricas para avaliar integrais de volume em regiões com simetria cilíndrica.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
com Jacobiano dV = r\,dr\,d\theta\,dz. A região fica:
\theta de 0 a \pi/2 (primeiro quadrante),
r de 0 a 3 (pois 3r^{2}\le36 - r^{2}\implies r\le3),
e z de 3r^{2} a 36 - r^{2}.

Passo 3

O integrando em cilíndricas é
12\,x\,y^{2}\,z =12\,(r\cos\theta)\,(r\sin\theta)^{2}\,z =12\,r^{3}\cos\theta\,\sin^{2}\theta\,z.
Multiplicando pelo Jacobiano r obtemos
12\,r^{4}\cos\theta\,\sin^{2}\theta\,z.
Assim
\iiint_{E}12\,x\,y^{2}\,z\,dV =\int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{3}\!\!\int_{3r^{2}}^{36 - r^{2}} 12\,r^{4}\cos\theta\,\sin^{2}\theta\,z\;dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integramos primeiro em z:
\int_{3r^{2}}^{36 - r^{2}}12\,r^{4}\cos\theta\,\sin^{2}\theta\,z\,dz =12\,r^{4}\cos\theta\,\sin^{2}\theta\, \Bigl[\tfrac{z^{2}}{2}\Bigr]_{3r^{2}}^{36 - r^{2}} =6\,r^{4}\cos\theta\,\sin^{2}\theta \bigl((36 - r^{2})^{2}-(3r^{2})^{2}\bigr).
Calculamos
(36 - r^{2})^{2}-(3r^{2})^{2} =1296 -72r^{2}+r^{4}-9r^{4} =1296 -72r^{2}-8r^{4}.

Passo 5

Substituindo, a integral reduz-se a
\int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{3} 6\,r^{4}\cos\theta\,\sin^{2}\theta\,(1296 -72r^{2}-8r^{4})\,dr\,d\theta.
Separamos o fator angular:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,\sin^{2}\theta\,d\theta =\int_{0}^{1}u^{2}du =\tfrac{1}{3},
onde u=\sin\theta.

Passo 6

Assim a integral vale
6\cdot\tfrac{1}{3}\int_{0}^{3}(1296\,r^{4}-72\,r^{6}-8\,r^{8})\,dr =2\int_{0}^{3}(1296\,r^{4}-72\,r^{6}-8\,r^{8})\,dr.

Passo 7

Calculamos cada termo:
\int_{0}^{3}1296\,r^{4}dr =1296\cdot\tfrac{3^{5}}{5} =\frac{314928}{5},
\int_{0}^{3}-72\,r^{6}dr =-72\cdot\tfrac{3^{7}}{7} =-\frac{157464}{7},
\int_{0}^{3}-8\,r^{8}dr =-8\cdot\tfrac{3^{9}}{9} =-17496.
Somando e colocando denominador comum 35:
\int_{0}^{3}\!(\cdots)\,dr =\frac{804816}{35}.

Passo 8

Multiplicando por 2 obtemos o valor final da integral:
2\cdot\frac{804816}{35} =\frac{1609632}{35}.

Resposta

\frac{1609632}{35}

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