Considere a função f(x, y)=-9+12 x-4 x^{3}+16 y^{2}-2 y^{4}. Encontre todos os pontos críticos e classifique-os.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y) = -9 + 12x - 4x^3 + 16y^2 - 2y^4
e pede todos os pontos críticos e sua classificação.
Conteúdo: derivadas parciais e critério da matriz Hessiana para funções de duas variáveis.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 12 - 12x^2 = 12(1 - x^2),
f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 32y - 8y^3 = 8y(4 - y^2).
As equações f_x=0 e f_y=0 dão
1 - x^2 = 0 \implies x = \pm 1, \qquad y(4 - y^2) = 0 \implies y = 0,\;\pm 2.
Logo, os seis pontos críticos são
(\pm1,0),\quad(\pm1,2),\quad(\pm1,-2).

Passo 3

Para classificar, precisamos da matriz Hessiana cujos elementos são
f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -24x, \quad f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 32 - 24y^2, \quad f_{xy} = f_{yx} = 0.
O determinante da Hessiana é
D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^2 = f_{xx}\,f_{yy}.
O critério de classificação:
  • Se D>0 e f_{xx}>0, então ponto de mínimo.
  • Se D>0 e f_{xx}<0, então ponto de máximo.
  • Se D<0, ponto de sela.

Passo 4

Agora avaliamos f_{xx}, f_{yy} e D em cada ponto:
1. Em (1,0):
f_{xx} = -24,
f_{yy} = 32,
D = (-24)\cdot 32 = -768 < 0 \Rightarrow sela.
2. Em (-1,0):
f_{xx} = 24,
f_{yy} = 32,
D = 24\cdot 32 = 768 > 0 e f_{xx}>0 \Rightarrow mínimo.
3. Em (1,2):
f_{xx} = -24,
f_{yy} = 32 - 24\cdot 4 = -64,
D = (-24)\cdot(-64) = 1536 > 0 e f_{xx}<0 \Rightarrow máximo.
4. Em (1,-2):
valores iguais ao caso (1,2) \Rightarrow máximo.
5. Em (-1,2):
f_{xx} = 24,
f_{yy} = -64,
D = 24\cdot(-64) = -1536 < 0 \Rightarrow sela.
6. Em (-1,-2):
mesma situação de (-1,2) \Rightarrow sela.

Resposta

Os pontos críticos e suas classificações são:
(-1,0): mínimo local
(1,0): ponto de sela
(1,2) e (1,-2): máximo local
(-1,2) e (-1,-2): ponto de sela

Exercícios relacionados