Resolva a integral dupla \int_{D} \int\left(x^{2}+y^{2}\right) d A, onde D é a regiạo drá delimitada pelas funçōes y=x e y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}(x^{2}+y^{2})\,dA
onde D é a região do plano limitada pelas curvas y=x^{2} e y=x. O conteúdo é integração dupla em coordenadas cartesianas. Vamos usar o Teorema de Fubini para transformar em uma integral iterada, identificar os limites de x e y, e então integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, encontramos a interseção das curvas y=x^{2} e y=x resolvendo
x^{2}=x\quad\Longrightarrow\quad x(x-1)=0,
logo as abscissas de interseção são x=0 e x=1. Entre esses valores, x^{2}\le x, então para cada x\in[0,1], y varia de y=x^{2} até y=x.

Passo 3

Escrevemos a integral iterada segundo a ordem dy\,dx:
\iint_{D}(x^{2}+y^{2})\,dA =\int_{x=0}^{1}\Bigl[\int_{y=x^{2}}^{x}(x^{2}+y^{2})\,dy\Bigr]dx.

Passo 4

Calculamos a integral interna em y:
\int_{y=x^{2}}^{x}(x^{2}+y^{2})\,dy =\int_{x^{2}}^{x}x^{2}\,dy+\int_{x^{2}}^{x}y^{2}\,dy.
Como x é constante na integração em y,
\int_{x^{2}}^{x}x^{2}\,dy =x^{2}\bigl[y\bigr]_{y=x^{2}}^{y=x} =x^{2}(x-x^{2}) =x^{3}-x^{4},
e
\int_{x^{2}}^{x}y^{2}\,dy =\bigl[\tfrac{y^{3}}{3}\bigr]_{y=x^{2}}^{y=x} =\frac{x^{3}}{3}-\frac{(x^{2})^{3}}{3} =\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{6}}{3}.
Somando, obtemos o integrando já em função de x:
\int_{y=x^{2}}^{x}(x^{2}+y^{2})\,dy =(x^{3}-x^{4})+\Bigl(\tfrac{x^{3}}{3}-\tfrac{x^{6}}{3}\Bigr) =\frac{4x^{3}}{3}-x^{4}-\frac{x^{6}}{3}.

Passo 5

Agora integramos em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\Bigl(\frac{4x^{3}}{3}-x^{4}-\frac{x^{6}}{3}\Bigr)\,dx =\frac{4}{3}\int_{0}^{1}x^{3}dx-\int_{0}^{1}x^{4}dx-\frac{1}{3}\int_{0}^{1}x^{6}dx.
Calculando cada termo:
\int_{0}^{1}x^{3}dx=\frac{1}{4},\quad \int_{0}^{1}x^{4}dx=\frac{1}{5},\quad \int_{0}^{1}x^{6}dx=\frac{1}{7}.
Substituindo:
\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{4}-\frac{1}{5}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{7} =\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{21} =\frac{35-21-5}{105} =\frac{9}{105} =\frac{3}{35}.

Resposta

\iint_{D}(x^{2}+y^{2})\,dA = \frac{3}{35}.

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