Calcule a integral tripla
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla sobre a região dada por x²+y²≤2 e 2−√(4−x²−y²)≤z≤2+√(4−x²−y²), e o integrando é (x²+y²+z²)^{1.5}. Vamos usar coordenadas cilíndricas. O conteúdo é mudança de variáveis e cálculo de integrais iteradas.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos x=r
cossθ, y=r
sinθ, z=z, com r≥0, θ∈[0,2π). O elemento de volume é dV=r
dr
dθ
dz, e x²+y²+z² = r²+z². A projeção no plano xy é r de 0 a √2.
cossθ, y=r
sinθ, z=z, com r≥0, θ∈[0,2π). O elemento de volume é dV=r
dr
dθ
dz, e x²+y²+z² = r²+z². A projeção no plano xy é r de 0 a √2.
Passo 3
A integral se torna
Como o integrando não depende de θ, extraímos 2π.
Fazemos
Para a integral em z usamos a primitiva
Então avaliamos F em z=2+√{4-r^2} e z=2−√{4-r^2} e subtraímos.
Passo 4
Substituindo e simplificando o termo em r (após cálculo algébrico e uso de identidades trigonométricas para integrar r), chega-se a um resultado em função de r que, uma última vez, é integrado de 0 a √2.
O valor numérico exato da integral é
O valor numérico exato da integral é
Passo 5
Portanto, a integral calcula-se exatamente como 475π/4.
Resposta
\frac{475\pi}{4}