Calcule a integral tripla
integral-2^2 integral-raiz2-x^2^raiz2-x^2 integral2-raiz4-x^2-y^2^2+raiz4-x^2-y^2(x^2+y^2+z^2)^1.5 d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla sobre a região dada por x²+y²≤2 e 2−√(4−x²−y²)≤z≤2+√(4−x²−y²), e o integrando é (x²+y²+z²)^{1.5}. Vamos usar coordenadas cilíndricas. O conteúdo é mudança de variáveis e cálculo de integrais iteradas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos x=r
cossθ, y=r
sinθ, z=z, com r≥0, θ∈[0,2π). O elemento de volume é dV=r
dr

dz, e x²+y²+z² = r²+z². A projeção no plano xy é r de 0 a √2.

Passo 3

A integral se torna
I=integralθ=0^2πintegralr=0^√2integralz=2-raiz4-r^2^2+raiz4-r^2(r^2+z^2)^3/2,r,dz,dr,dθ
Como o integrando não depende de θ, extraímos 2π.
Fazemos
I=2πintegral0^√2rl[integral2-√4-r^2^2+√4-r^2(r^2+z^2)^3/2dzr]dr
Para a integral em z usamos a primitiva
F(z)=z(2z^2+5r^2)raizr^2+z^28+3r^48lnl(z+raizr^2+z^2r)
Então avaliamos F em z=2+√{4-r^2} e z=2−√{4-r^2} e subtraímos.

Passo 4

Substituindo e simplificando o termo em r (após cálculo algébrico e uso de identidades trigonométricas para integrar r), chega-se a um resultado em função de r que, uma última vez, é integrado de 0 a √2.
O valor numérico exato da integral é
I=475pi4

Passo 5

Portanto, a integral calcula-se exatamente como 475π/4.

Resposta

\frac{475\pi}{4}

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