Calcule a integral tripla.
integral triplaE raiz1-z^2 d x d y d z, onde E é o cubo, 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1 e 0 <= z <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral triplaE raiz1 - z^2;dx,dy,dz
onde E é o cubo definido por 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1, 0 <= z <= 1.
O conteúdo envolvido é integral múltipla e a propriedade de separabilidade quando o integrando independe de algumas variáveis.

Passo 2

Como raiz1-z^2 não depende de x nem de y, podemos fatorar as integrais em x e y:
integral triplaEraiz1-z^2,dx,dy,dz =integral0^1!integral0^1dx,dy;integral0^1raiz1-z^2,dz =(1cdot1),integral0^1raiz1-z^2,dz =integral0^1raiz1-z^2,dz

Passo 3

Para calcular
integral0^1raiz1-z^2,dz
usa-se a fórmula
integral raiz1-u^2,du =u2raiz1-u^2 +12arcsin(u)+C
Aplicando de u=0 a u=1:
integral0^1raiz1-z^2,dz =[z2raiz1-z^2 +12arcsin(z)]0^1 =12arcsin(1)-0 =12cdotpi2 =pi4

Resposta

pi4

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