Calcule a integral tripla
onde
é a região solida formada pelos pontos com coordenadas
satisfazendo
,
e
Passo 1
Resumo rápido: a gente tem que calcular a integral tripla
onde a região E é dada por 0≤x≤1, 0≤y≤z e 0≤z≤1. O conteúdo aqui é integrar funções em coordenadas cartesianas numa região sólida, e vamos precisar usar integrais iteradas e propriedades de separação de variáveis.
Passo 2
Agora a gente integra primeiro em y. O integral fica:
Como x e z são constantes quando integramos em y e
, isso vira um duplo integral em x e z:
Passo 3
Usando a propriedade que integrais de funções separáveis podem ser escritas como produto, a gente tem:
Passo 4
Agora calculamos cada integral:
Para
, usamos a primitiva de potências:
Para
, fazemos a substituição
, então
:
Passo 5
Por fim, a gente multiplica esses resultados: