Calcule a integral tripla
integral triplaE x^3 raiz1-z^2 d V
onde E é a região solida formada pelos pontos com coordenadas (x, y, z) satisfazendo 0 <= x <= 1, 0 <= y <= z e 0 <= z <= 1

Passo 1

Resumo rápido: a gente tem que calcular a integral tripla
integral triplaE x^3 raiz1-z^2,dV
onde a região E é dada por 0≤x≤1, 0≤y≤z e 0≤z≤1. O conteúdo aqui é integrar funções em coordenadas cartesianas numa região sólida, e vamos precisar usar integrais iteradas e propriedades de separação de variáveis.

Passo 2

Agora a gente integra primeiro em y. O integral fica:
integral triplaE x^3 raiz1-z^2,dV = integral0^1integral0^1integral0^z x^3 raiz1-z^2,dy,dx,dz
Como x e z são constantes quando integramos em y e integral0^zdy = z, isso vira um duplo integral em x e z:

Passo 3

Usando a propriedade que integrais de funções separáveis podem ser escritas como produto, a gente tem:
integral0^1integral0^1 x^3zraiz1-z^2,dx,dz = l(integral0^1x^3dxr)cdotl(integral0^1zraiz1-z^2dzr)

Passo 4

Agora calculamos cada integral:
Para integral0^1x^3dx, usamos a primitiva de potências:
integral0^1x^3dx = l[x^44r]0^1 = 14
Para integral0^1zraiz1-z^2dz, fazemos a substituição u=1-z^2, então du=-2z,dz:
integral0^1zraiz1-z^2dz = -12integral1^0u^tfrac12du = 12integral0^1u^tfrac12du = 12cdot23 = 13

Passo 5

Por fim, a gente multiplica esses resultados:
14cdot13 = 112

Resposta

112

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