Resolva as equações homogêneas:
x \cos \left(\frac{y}{x}\right)(y d x+x d y)=y \sin \left(\frac{y}{x}\right)(x d x-y d y)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
xcosl( yxr)l(y,dx + x,dyr) = ysinl( yxr)l(x,dx - y,dyr),
que é uma equação homogênea (os termos são todos do mesmo grau em x,y). Para resolver, vamos usar a substituição típica de funções homogêneas
v= yx, y=v,x, dy=v,dx + x,dv

Passo 2

Substituindo y=v x e dy=v,dx + x,dv na equação original, obtemos após simplificação
2v x^2cos v + x^3cos v,dvdx = v x^2(1-v^2)sin v - v^2 x^3sin v,dvdx
Reagrupando os termos em dvdx e em dx e dividindo por x^3neq0
l(cos v + v^2sin vr)dvdx = -vl(2cos v - (1-v^2)sin vr)x
Isto é equivalente a separar as variáveis:
dxx = -,cos v + v^2sin v vl(2cos v - (1-v^2)sin vr),dv, onde v= yx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integraldxx = -,integral cos v + v^2sin v vl(2cos v - (1-v^2)sin vr) ,dv + C
A integral do lado esquerdo é lnlvert xrvert, logo a solução geral fica em forma implícita:
lnlvert xrvert + integral cosl(tfrac yxr)+l(tfrac yxr)^2sinl(tfrac yxr) tfrac yxl[2cosl(tfrac yxr)-l(1-(tfrac yx)^2r)sinl(tfrac yxr)r] ;d!l(tfrac yxr) = C

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
lnlvert xrvert + integral cos v + v^2sin v vl(2cos v - (1-v^2)sin vr) ,dv = C, v= yx

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