Resolva as equações homogêneas:
x \cos \left(\frac{y}{x}\right)(y d x+x d y)=y \sin \left(\frac{y}{x}\right)(x d x-y d y)
x \cos \left(\frac{y}{x}\right)(y d x+x d y)=y \sin \left(\frac{y}{x}\right)(x d x-y d y)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
que é uma equação homogênea (os termos são todos do mesmo grau em
). Para resolver, vamos usar a substituição típica de funções homogêneas
Passo 2
Substituindo
e
na equação original, obtemos após simplificação
Reagrupando os termos em
e em
e dividindo por
dá
Isto é equivalente a separar as variáveis:
Passo 3
Integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é
, logo a solução geral fica em forma implícita:
Resposta
A solução geral, em forma implícita, é