Use a integral dupla para determinar a área da região D
r=raiztheta onde D é o gráfico gerado por r e 0 <= theta <= 2 pi

Passo 1

O enunciado pede a área da região D gerada pela curva r = √θ no intervalo 0 ≤ θ ≤ 2π. O conteúdo aqui é cálculo de área em coordenadas polares e vamos usar a fórmula do elemento de área em polares dA = r,dr,dθ.

Passo 2

Montamos a integral dupla em coordenadas polares para a área:

Passo 3

A = integral duplaD dA = integralθ=0^2π integralr=0^raizθ r,dr,dθ

Passo 4

Primeiro integramos em relação a r:

Passo 5

integral0^raizθ r,dr = r^22|0^raizθ = θ2

Passo 6

Agora integramos em θ:

Passo 7

A = integral0^2π θ2,dθ = 12 integral0^2π θ,dθ = 12 θ^22|0^2π = 12 cdot (2π)^22 = pi^2

Resposta

pi^2

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