Calcule a integral tripla:
integral triplaE z d V, onde E é limitada pelos planos x=0, y=0, z=0, y+z=1 e x+z=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral triplaE z , dV
onde E é o sólido limitado pelos planos
x=0, y=0, z=0, y+z=1, x+z=1
O conteúdo aqui é o de integrais múltiplas em coordenadas cartesianas, e vamos precisar determinar adequadamente os limites de integração de E.

Passo 2

Para cada valor fixo de z, as desigualdades y+z<=1 e x+z<=1 viram
y<=1-z, x<=1-z,
enquanto x>=0, y>=0 e z>=0. Além disso, z varia até o ponto em que 1-z=0, ou seja 0<= z<=1. Logo
0<= z<=1, 0<= x<=1-z, 0<= y<=1-z

Passo 3

Escrevemos a integral tripla em ordem dx,dy,dz:
integral triplaE z , dV = integralz=0^1 integraly=0^,1-z integralx=0^,1-z z ,dx,dy,dz

Passo 4

Integramos em x e em y, lembrando que z é constante nessas integrais:
integralx=0^,1-zz,dx = z,(1-z),
integraly=0^,1-zz,(1-z),dy = z,(1-z),(1-z) = z,(1-z)^2
Portanto a integral reduz-se a
integral0^1z,(1-z)^2,dz

Passo 5

Expandimos e integramos em z:
integral0^1z,(1-z)^2,dz =integral0^1l(z-2z^2+z^3r),dz =l[tfracz^22-tfrac2z^33+tfracz^44r]0^1 =tfrac12-tfrac23+tfrac14 =tfrac112

Resposta

112

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