Determine d z / d t de duas maneiras: usando a Regra da Cadeia e substituindo as expressões de x e y de modo que se escreva z como uma função de t. As suas respostas coincidem?
z=x y e^y, x=t^2, y=5 t

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
z = x,y,e^y,
com x e y dados em função de t por
x = t^2, y = 5t
Pede-se dfracdzdt de duas maneiras: (i) usando a Regra da Cadeia, (ii) substituindo x e y para escrever z diretamente como função de t. Vamos usar derivadas parciais e regras de derivação de funções compostas.

Passo 2

Aplicando a Regra da Cadeia obtemos
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt
Como
partial zpartial x = y,e^y, partial zpartial y = x,e^y + x,y,e^y = x,e^y(1+y),
e
dxdt = 2t, dydt = 5,
segue que
dzdt = y,e^ycdot 2t + x,e^y(1+y)cdot 5
Substituindo x = t^2 e y = 5t resulta
dzdt = 5t,e^5tcdot 2t + t^2,e^5tl(1+5tr)cdot 5 = l(10t^2 + 5t^2 +25t^3r)e^5t = (15t^2+25t^3)e^5t

Passo 3

Agora escrevemos
z(t) = x(t),y(t),e^y(t) = t^2cdot 5tcdot e^5t = 5t^3 e^5t,
e derivamos diretamente usando a regra do produto:
dzdt = 5l(3t^2 e^5t + t^3cdot 5e^5tr) = l(15t^2 +25t^3r)e^5t

Passo 4

As duas formas produziram a mesma expressão para dfracdzdt.

Resposta

As duas respostas coincidem e são
dzdt = (15t^2 + 25t^3),e^5t

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