Determine d z / d t de duas maneiras: usando a Regra da Cadeia e substituindo as expressões de x e y de modo que se escreva z como uma função de t. As suas respostas coincidem?
z=x^2 y+x y^2, x=3 t, y=t^2

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis
z = x^2y + x y^2
e as parametrizações
x = 3t, y = t^2
Pede-se dz/dt de duas maneiras: (i) usando a Regra da Cadeia e (ii) escrevendo z já em função de t e derivando diretamente.

Passo 2

Pela Regra da Cadeia temos
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt
Calculamos as derivadas parciais:
partial zpartial x = 2xy + y^2, partial zpartial y = x^2 + 2xy
Também
dxdt = 3, dydt = 2t
Logo,
dzdt = (2xy + y^2)cdot 3 + (x^2 + 2xy)cdot 2t
Substituindo x=3t e y=t^2, obtemos
2xy + y^2 = 2,(3t),(t^2) + (t^2)^2 = 6t^3 + t^4,
x^2 + 2xy = (3t)^2 + 2,(3t),(t^2) = 9t^2 + 6t^3
Então
dzdt = (6t^3+t^4)cdot 3 + (9t^2+6t^3)cdot 2t = 18t^3 + 3t^4 + 18t^3 + 12t^4 = 36t^3 + 15t^4

Passo 3

Substituindo primeiro na expressão de z:
z(t) = (3t)^2,(t^2) + (3t),(t^2)^2 = 9t^4 + 3t^5
Agora derivamos em relação a t:
dzdt = ddt(9t^4 + 3t^5) = 9cdot 4t^3 + 3cdot 5t^4 = 36t^3 + 15t^4

Passo 4

Comparando os resultados das duas abordagens, vemos que ambos levam a
dzdt = 36t^3 + 15t^4
Portanto, as respostas coincidem.

Resposta

dzdt = 36t^3 + 15t^4, e as duas formas de cálculo dão o mesmo resultado.

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