Seja . Encontre o ponto no qual: é paualelo à linha
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício que você trouxe envolve encontrar um ponto específico tal que a aplicação da função nesse ponto seja paralela a uma linha dada . Estamos lidando com Vetores e Paralelismo aqui. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a função e a direção da linha . Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função . Ela está definida como:
Isso significa que, para cada ponto no espaço, a função retorna um novo vetor com duas componentes: a primeira é simplesmente , e a segunda é .
Passo 3
Agora, vamos olhar para a linha que foi dada:
Aqui, é um parâmetro que percorre todos os valores reais. A direção da linha é dada pelo vetor que multiplica o parâmetro , ou seja, . Esse vetor indica a direção em que a linha está apontando.
Passo 4
Queremos encontrar o ponto tal que seja paralelo à linha . Para dois vetores serem paralelos, eles precisam ser proporcionales, ou seja, um é múltiplo do outro. Vamos chamar o vetor resultante de de :
E a direção de é . Assim, queremos que exista um escalar tal que:
Isso nos dá as seguintes equações:
Passo 5
Vamos resolver essas equações. Da primeira equação:
Substituindo por na segunda equação:
Vamos reorganizar essa equação:
Passo 6
Vamos tentar simplificar essa equação. Fatorando onde possível:
Agora, queremos expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos isolar :
Isso nos mostra uma relação entre , e . Mas ainda precisamos mais informações para determinar valores específicos para , e .
Passo 7
Observando a função , notamos que ela mapeia pontos do espaço tridimensional para o plano bidimensional . Porém, queremos que seja paralelo a uma linha no espaço tridimensional. Isso cria uma inconsistência, já que tem apenas duas componentes, enquanto a direção da linha tem três.
A única possibilidade para ser paralelo a é que seja o vetor nulo, ou seja, . Isso ocorre quando:
Passo 8
Vamos resolver essas equações:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Passo 9
Então, qualquer ponto que satisfaz fará com que , que é o vetor nulo. O vetor nulo pode ser considerado paralelo a qualquer vetor, pois não tem direção definida.
Portanto, os pontos buscados são todos os pontos da forma:
Onde pode ser qualquer número real.
Resposta
O ponto procurado satisfaz e . Assim, todos os pontos de são da forma: